专题15 圆锥曲线综合（原卷版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题15圆锥曲线综合目录一览2023真题展现考向一直线与双曲线综合考向二直线与抛物线综合真题考查解读近年真题对比考向一直线与双曲线综合考向二直线与圆锥曲线综合命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与双曲线综合1．（2023•新高考Ⅱ•第21题）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2√5，0），离心率为√5．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向二直线与抛物线综合2．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．【命题意图】考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线相交等．【考查要点】圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【得分要点】1．圆锥曲线的定义（1）椭圆定义：12||||2PFPFa．（2）双曲线定义：12|||-|||2PFPFa．（3）抛物线定义：|𝑃𝐹|=𝑑．2．圆锥曲线的标准方程及几何性质（1）椭圆的标准方程与几何性质标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0)资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图形几何性质范围−𝑎≤𝑥≤𝑎,−𝑏≤𝑦≤𝑏−𝑏≤𝑥≤𝑏,−𝑎≤𝑦≤𝑎对称性对称轴：𝑥轴、𝑦轴.对称中心：原点.焦点𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0).𝐹1(0,−𝑐),𝐹2(0,𝑐).顶点𝐴1(−𝑎,0)，𝐴2(𝑎,0)，𝐵1(0,−𝑏),𝐵2(0,𝑏).𝐴1(0,−𝑎),𝐴2(0,𝑎)，𝐵1(−𝑏,0),𝐵2(𝑏,0).轴线段𝐴1𝐴2，𝐵1𝐵2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2𝑎，短轴长为2𝑏.焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐.离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2∈(0,1).𝑎,𝑏,𝑐的关系𝑐2=𝑎2−𝑏2.（2）双曲线的标准方程与几何性质标准方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0,b＞0）𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1（a＞0,b＞0）图形性质焦点F1（﹣c,0），F2（c,0）F1（0,﹣c），F2（0,c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=𝑐𝑎（e＞1）准线x＝±𝑎2𝑐y＝±𝑎2𝑐渐近线𝑥𝑎±𝑦𝑏=0𝑥𝑏±𝑦𝑎=0（3）抛物线的标准方程与几何性质标准方程𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)𝑦2=−2𝑝𝑥(𝑝0)𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝0)𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝0)资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图形几何性质对称轴𝑥轴𝑦轴顶点𝑂(0,0)焦点𝐹(𝑝2,0)𝐹(−𝑝2,0)𝐹(0,𝑝2)𝐹(0,−𝑝2)准线方程𝑥=−𝑝2𝑥=𝑝2𝑦=−𝑝2𝑦=𝑝2范围𝑥≥0,𝑦∈𝐑𝑥≤0,𝑦∈𝐑𝑦≥0,𝑥∈𝐑𝑦≤0,𝑥∈𝐑离心率𝑒=1焦半径（𝑃(𝑥0,𝑦0)为抛物线上一点）𝑝2+𝑥0𝑝2−𝑥0𝑝2+𝑦0𝑝2−𝑦03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路（1）把直线或曲线方程中的变量𝑥,𝑦当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于𝑥,𝑦的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)，则直线必过定点(𝑥0,𝑦0);若得到了直线方程的斜截式𝑦=𝑘𝑥+𝑚，则直线必过定点(0,𝑚).（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.5.求解定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6.求解定线问题的常用方法定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.7.有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.8.探索性问题的解题策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.考向一直线与双曲线综合3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．4．（2022•新高考Ⅰ）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣，0），F2（，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．考向二直线与圆锥曲线综合6．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据近几年真题推测主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查。复习时需注意以下几点：（1）求解圆锥曲线时，需关注待定系数法与定义法的应用（2）求解有关弦中点问题时，需关注点差法和根与系数的关系的应用（3）求解定值、定点问题时，需注意求解思路与转化方法。一．椭圆的标准方程（共1小题）1．（2023•浦东新区三模）已知t∈R，曲线C：（4﹣t）x2+ty2＝12．（1）若曲线C为圆，且与直线y＝x﹣2交于A，B两点，求|AB|的值；（2）若曲线C为椭圆，且离心率，求椭圆C的标准方程；（3）设t＝3，若曲线C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx+t与C交于不同的两点P，Q，直线y＝s与直线BQ交于点G，求证：当st＝4时，A，G，P三点共线．二．椭圆的性质（共2小题）2．（2023•平罗县校级模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为2．直线l：y＝（x+2）交椭圆C于不同的两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆左焦点为F1，求△F1AB的面积．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023•奉贤区二模）已知椭圆C：，A（0，b），B（0，﹣b）．椭圆C内部的一点（t＞0），过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．（1）若椭圆C的离心率是，求b的值；（2）设△BTM的面积是S1，△ATN的面积是S2，若，b＝1时，求t的值；（3）若点U（xu，yu），V（xv，yv）满足xu＜xv且yu＞yv，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．三．直线与椭圆的综合（共22小题）4．（2023•海淀区校级三模）已知椭圆，且过两点．（1）求椭圆E的方程和离心率e；（2）若经过M（1，0）有两条直线l1，l2，它们的斜率互为倒数，l1与椭圆E交于A，B两点，l2与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：△OPQ与△MPQ的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023•汉中模拟）已知过点（1，e）的椭圆E：的焦距为2，其中e为椭圆E的离心率．（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，直线l与E交于A，C两点，以OA，OC为邻边作平行四边形OABC，且点B恰好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．6．（2023•商洛三模）已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．（1）求椭圆C的方程．（2）不经过点A且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023•辽宁二模）已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．8．（2023•商丘三模）如图，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，k1＝2k2．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．（2023•南通模拟）已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点D（4，0），连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N．（1）若A为线段DM的中点，求点A的坐标；（2）设△DMN，△DAB的面积分别为S1，S2，若，求线段OA的长．10．（2023•未央区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：x2+＝1，且椭圆C2过椭圆C1的焦点．过点的直线l与椭圆C1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）若存在直线l，使得AB＝CD，求t的取值范围．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023•临汾模拟）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为2c，_____．①a，b，c为等差数列；②为等比数列．（1）在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）（1）中所求C的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与椭圆C交于P，Q两点，A为椭圆的右顶点，直线AP，AQ分别交直线于M，N两点，求以MN为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若