专题03 导数及其应用（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题03导数及其应用考点一导数的运算1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx．若3(2)2fx，(2)gx均为偶函数，则()A．(0)0fB．1()02gC．(1)ff（4）D．(1)gg（2）【解析】3(2)2fx为偶函数，可得33(2)(2)22fxfx，()fx关于32x对称，令54x，可得3535(2)(2)2424ff，即(1)ff（4），故C正确；(2)gx为偶函数，(2)(2)gxgx，()gx关于2x对称，故D不正确；()fx关于32x对称，32x是函数()fx的一个极值点，函数()fx在3(2，)t处的导数为0，即33()()022gf，又()gx的图象关于2x对称，53()()022gg，函数()fx在5(2，)t的导数为0，52x是函数()fx的极值点，又()fx的图象关于32x对称，5(2，)t关于32x的对称资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2点为1(2，)t，由52x是函数()fx的极值点可得12x是函数()fx的一个极值点，11()()022gf，进而可得17()()022gg，故72x是函数()fx的极值点，又()fx的图象关于32x对称，7(2，)t关于32x的对称点为1(2，)t，11()()022gf，故B正确；()fx图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故A错误．解法二：构造函数法，令()1sinfxx，则3(2)1cos22fxx，则()()cosgxfxx，(2)cos(2)cosgxxx，满足题设条件，可得只有选项BC正确，故选：BC．考点二利用导数研究曲线上某点切线方程2．（2021•新高考Ⅰ）若过点(,)ab可以作曲线xye的两条切线，则()A．beaB．aebC．0baeD．0abe【解析】法一：函数xye是增函数，0xye恒成立，函数的图象如图，0y，即切点坐标在x轴上方，如果(,)ab在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(,)ab在x轴或下方时，只有一条切线．如果(,)ab在曲线上，只有一条切线；(,)ab在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)ab在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0abe．故选：D．法二：设过点(,)ab的切线横坐标为t，则切线方程为()ttyexte，可得(1)tbeat，设()(1)ftat，可得()()tfteat，(,)ta，()0ft，()ft是增函数，(,)ta，()0ft，()ft是减函数，因此当且仅当0abe时，上述关于t的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：D．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】33．（2022•新高考Ⅰ）若曲线()xyxae有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【解析】()xxyexae，设切点坐标为0(x，00())xxae，切线的斜率000()xxkexae，切线方程为000000()(())()xxxyxaeexaexx，又切线过原点，000000()(())()xxxxaeexaex，整理得：2000xaxa，切线存在两条，方程有两个不等实根，△240aa，解得4a或0a，即a的取值范围是(，4)(0，)，故答案为：(，4)(0，)．4．（2022•新高考Ⅱ）曲线||ylnx过坐标原点的两条切线的方程为，．【解析】当0x时，ylnx，设切点坐标为0(x，0)lnx，1yx，切线的斜率01kx，切线方程为0001()ylnxxxx，又切线过原点，01lnx，0xe，切线方程为11()yxee，即0xey，当0x时，()ylnx，与ylnx的图像关于y轴对称，切线方程也关于y轴对称，切线方程为0xey，综上所述，曲线||ylnx经过坐标原点的两条切线方程分别为0xey，0xey，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4故答案为：0xey，0xey．5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()|1|xfxe，10x，20x，函数()fx的图象在点1(Ax，1())fx和点2(Bx，2())fx的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则||||AMBN的取值范围是．【解析】当0x时，()1xfxe，导数为()xfxe，可得在点1(Ax，_11)xe处的斜率为_11xke，切线AM的方程为_1_11(1)()xxyeexx，令0x，可得_1_111xxyexe，即_1_11(0,1)xxMexe，当0x时，()1xfxe，导数为()xfxe，可得在点2(Bx，_21)xe处的斜率为_22xke，令0x，可得_2_221xxyexe，即_2_22(0,1)xxNexe，由()fx的图象在A，B处的切线相互垂直，可得_1_2121xxkkee，即为120xx，10x，20x，所以122222212221()||11(0,1)||11xxxxxexAMeBNeexe．故答案为：(0,1)．考点三利用导数研究函数的单调性6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数()xfxaelnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．2eB．eC．1eD．2e【解析】对函数()fx求导可得，1()xfxaex，依题意，10xaex…在(1,2)上恒成立，即1xaxe…在(1,2)上恒成立，设1(),(1,2)xgxxxe，则22()(1)()()()xxxxxexeexgxxexe，易知当(1,2)x时，()0gx，则函数()gx在(1,2)上单调递减，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5则11()(1)maxagxgee…．故选：C．7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数()()xfxaeax．（1）讨论()fx的单调性；（2）证明：当0a时，3()22fxlna．【解析】（1）()()xfxaeax，则()1xfxae，①当0a„时，()0fx恒成立，()fx在R上单调递减，②当0a时，令()0fx得，1xlna，当1(,)xlna时，()0fx，()fx单调递减；当1(xlna，)时，()0fx，()fx单调递增，综上所述，当0a„时，()fx在R上单调递减；当0a时，()fx在1(,)lna上单调递减，在1(lna，)上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当0a时，2111()()()1minfxflnaalnalnaaaa，要证3()22fxlna，只需证23122alnalna，只需证2102alna，设g（a）212alna，0a，则g（a）21212aaaa，令g（a）0得，22a，当2(0,)2a时，g（a）0，g（a）单调递减，当2(2a，)时，g（a）0，g（a）单调递增，所以g（a）21212()022222glnln…，即g（a）0，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6所以2102alna得证，即3()22fxlna得证．8．（2022•浙江）设函数()(0)2efxlnxxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）已知a，bR，曲线()yfx上不同的三点1(x，1())fx，2(x，2())fx，3(x，3())fx处的切线都经过点(,)ab．证明：（ⅰ）若ae，则0bf（a）1(1)2ae；（ⅱ）若0ae，123xxx，则2213211266eaeaeexxae．（注:2.71828e是自然对数的底数）【解析】（Ⅰ）函数()(0)2efxlnxxx，2212()22exefxxxx，(0)x，由22()02xefxx，得2ex，()fx在(2e，)上单调递增；由22()02xefxx，得02ex，()fx在(0,)2e上单调递减．（Ⅱ）()i证明：过(,)ab有三条不同的切线，设切点分别为1(x，1())fx，2(x，2())fx，3(x，3())fx，()()()iiifxbfxxa，(1i，2，3)，方程()()()fxbfxxa有3个不同的根，该方程整理为21()()022eexalnxbxxx，设21()()()22eegxxalnxbxxx，则223231111()()()()()22eeegxxaxexaxxxxxxx，当0xe或xa时，()0gx；当exa时，()0gx，()gx在(0,)e，(,)a上为减函数，在(,)ea上为增函数，()gx有3个不同的零点，g（e）0且g（a）0，21()()022eeealnebeee，且21()()022eeaalnabaaa，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7整理得到12abe且()2eblnafaa，此时，12abe，且()2eblnafaa，此时，1()(1)1()02222aaeebfalnalnabeeaa，整理得12abe，且()2eblnafaa，此时，bf（a）113(1)1()2222222aaeaelnalnaeeaea，设（a）为(,)e上的减函数，（a）3022elnee，10()(1)2abfae．()ii当0ae时，同()i讨论，得：()gx在(0,)a，(,)e上为减函数，在(,)ae上为增函数，不妨设123xxx，则1230xaxex，()gx有3个不同的零点，g（a）0，且g（e）0，21()()022eeealnebeee，且21()()022eeaalnabaaa，整理得122aablnaee，123xxx，1230xaxex，2()12aeeagxlnxbxx，设,(0,1)eatmxe，则方程2102aeealnxbxx即为：202aeattlntbee，即为2(1)02mmttlntb，记123123,,eeetttxxx，则1t，2t，3t为2(1)02mmttlntb有三个不同的根，设31311xtektxa，1ame，要证：2213211266eaeaeexxae，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】8即证132266eaeeatteae，即证：213132(13)(12)236()mmmttmmtt，而2111(1)02mmttlntb，且2333(1)02mmttlntb，22131313()(1)()02mlntlntttmtt，131313222lntlntttmmtt，即证21313132(13)(12)36()lntlntmmmmttmtt，即证1132313()(13)(12)072tttlntmmmtt，即证2