专题06 三角函数及解三角形（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题06三角函数及解三角形考点一同角三角函数间的基本关系1．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则𝑠𝑖𝑛𝜃(1+𝑠𝑖𝑛2𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃=（）A．−65B．−25C．25D．65【解析】由题意可得：𝑠𝑖𝑛𝜃(1+𝑠𝑖𝑛2𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃⋅𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃⋅𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃=𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃+1⋅𝑡𝑎𝑛𝜃2+2𝑡𝑎𝑛𝜃+1𝑡𝑎𝑛2𝜃+1=25．故选：C．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2考点二正弦函数的图象2．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+𝜋4）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若2𝜋3＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（3𝜋2，2）中心对称，则f（𝜋2）＝（）A．1B．32C．52D．3【解析】函数f（x）＝sin（ωx+𝜋4）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T=2𝜋𝜔，由2𝜋3＜T＜π，得2𝜋3＜2𝜋𝜔＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（3𝜋2，2）中心对称，∴b＝2，且sin（3𝜋2𝜔+𝜋4）＝0，则3𝜋2𝜔+𝜋4=kπ，k∈Z．∴𝜔=23(𝑘−14)，k∈Z，取k＝4，可得𝜔=52．∴f（x）＝sin（52x+𝜋4）+2，则f（𝜋2）＝sin（52×𝜋2+𝜋4）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．考点三三角函数的周期性3．（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．【解析】x∈[0，2π]，函数的周期为2𝜋𝜔（ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝1，函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2⋅2𝜋𝜔≤2π＜3⋅2𝜋𝜔，所以2≤ω＜3．故答案为：[2，3）．4．（2022•上海）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为．【解析】f（x）＝cos2x﹣sin2x+1＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x＝2cos2x＝cos2x+1，T=2𝜋2=π．故答案为：π．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】35．（2020•上海）函数y＝tan2x的最小正周期为．【解析】函数y＝tan2x的最小正周期为𝜋2，故答案为：𝜋2．6．（2020•上海）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）=12的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+√3f（﹣x）f（𝜋2−x），x∈[0，𝜋4]，求g（x）的值域．【解析】（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω=2𝜋4𝜋=12，所以f（x）＝sin12𝑥．令sin12𝑥=12，故12𝑥=2𝑘𝜋+𝜋6或2𝑘𝜋+5𝜋6，整理得𝑥=4𝑘𝜋+𝜋3或𝑥=4𝑘𝜋+5𝜋3．故解集为{x|𝑥=4𝑘𝜋+𝜋3或𝑥=4𝑘𝜋+5𝜋3，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sinx．所以g（x）=𝑠𝑖𝑛2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛(−𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝜋2−𝑥)=1−𝑐𝑜𝑠2𝑥2−√32𝑠𝑖𝑛2𝑥=−√32𝑠𝑖𝑛2𝑥−12𝑐𝑜𝑠2𝑥+12=12−sin（2x+𝜋6）．由于x∈[0，𝜋4]，所以𝜋6≤2𝑥+𝜋6≤2𝜋3．12≤𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)≤1，故−1≤−𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)≤−12，故−12≤𝑔(𝑥)≤0．所以函数g（x）的值域为[−12，0]．考点四三角函数的最值7．（2023•上海）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（）A．sa＞0，ta＞0B．sa＜0，ta＜0C．sa＞0，ta＜0D．sa＜0，ta＞0【解析】由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4取a=𝜋6，则[a，2a]＝[𝜋6，𝜋3]，区间[2a，3a]＝[𝜋3，𝜋2]，可知sa＞0，ta＞0，故A可能；取a=5𝜋12，则[a，2a]＝[5𝜋12，5𝜋6]，区间[2a，3a]＝[5𝜋6，5𝜋4]，可知sa＞0，ta＜0，故C可能；取a=7𝜋6，则[a，2a]＝[7𝜋6，7𝜋3]，区间[2a，3a]＝[7𝜋3，7𝜋2]，可知sa＜0，ta＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是sa＜0，ta＞0．故选：D．8．（2021•上海）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x1∈[0，𝜋2]，都存在x2∈[0，𝜋2]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（）A．3𝜋5B．4𝜋5C．6𝜋5D．7𝜋5【解析】∵x1∈[0，𝜋2]，∴sinx1∈[0，1]，∴f（x1）∈[2，5]，∵都存在x2∈[0，𝜋2]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，∴f（x2+θ）min≤0，𝑓(𝑥2+𝜃)𝑚𝑎𝑥≥32，∵f（x）＝3sinx+2，∴𝑠𝑖𝑛(𝑥2+𝜃)𝑚𝑖𝑛≤−23，𝑠𝑖𝑛(𝑥2+𝜃)𝑚𝑎𝑥≥−16，y＝sinx在x∈[𝜋2，3𝜋2]上单调递减，当𝜃=3𝜋5时，𝑥2+𝜃∈[3𝜋5，11𝜋10]，∴𝑠𝑖𝑛(𝑥2+𝜃)=𝑠𝑖𝑛11𝜋10＞𝑠𝑖𝑛7𝜋6=−12，故A选项错误，当𝜃=4𝜋5时，𝑥2+𝜃∈[4𝜋5，13𝜋10]，∴𝑠𝑖𝑛(𝑥2+𝜃)𝑚𝑖𝑛=𝑠𝑖𝑛13𝜋10＜𝑠𝑖𝑛5𝜋4=−√22＜−23，𝑠𝑖𝑛(𝑥2+𝜃)𝑚𝑎𝑥=𝑠𝑖𝑛4𝜋5＞0，故B选项正确，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5当𝜃=6𝜋5时，x2+θ∈[6𝜋5，17𝜋10]，sin（x2+θ）max=𝑠𝑖𝑛6𝜋5＜𝑠𝑖𝑛13𝜋12=√2−√64＜−16，故C选项错误，当𝜃=7𝜋5时，𝑥2+𝜃∈[7𝜋5，19𝜋10]，sin（x2+θ）max=𝑠𝑖𝑛19𝜋10＜𝑠𝑖𝑛23𝜋12=√2−√64＜−16，故D选项错误．故选：B．9．（2021•浙江）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A．0B．1C．2D．3【解析】由基本不等式可得：𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽≤𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛽2，𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛾≤𝑠𝑖𝑛2𝛽+𝑐𝑜𝑠2𝛾2，𝑠𝑖𝑛𝛾𝑐𝑜𝑠𝛼≤𝑠𝑖𝑛2𝛾+𝑐𝑜𝑠2𝛼2，三式相加，可得：𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛾+𝑠𝑖𝑛𝛾𝑐𝑜𝑠𝛼≤32，很明显sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12．取α＝30°，β＝60°，γ＝45°，则𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽=14＜12，𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛾=√64＞12，𝑠𝑖𝑛𝛾𝑐𝑜𝑠𝛼=√64＞12，则三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C．考点五三角函数的单调性10．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x−𝜋6）单调递增的区间是（）A．（0，𝜋2）B．（𝜋2，π）C．（π，3𝜋2）D．（3𝜋2，2π）【解析】令−𝜋2+2𝑘𝜋≤𝑥−𝜋6≤𝜋2+2𝑘𝜋，k∈Z．则−𝜋3+2𝑘𝜋≤𝑥≤2𝜋3+2𝑘𝜋，k∈Z．当k＝0时，x∈[−𝜋3，2𝜋3]，（0，𝜋2）⊆[−𝜋3，2𝜋3]，故选：A．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6考点六三角函数的奇偶性和对称性11．（2019•浙江）设函数f（x）＝sinx，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+𝜋12）]2+[f（x+𝜋4）]2的值域．【解析】（1）由f（x）＝sinx，得f（x+θ）＝sin（x+θ），∵f（x+θ）为偶函数，∴θ=𝜋2+𝑘𝜋（k∈Z），∵θ∈[0，2π），∴𝜃=𝜋2或𝜃=3𝜋2，（2）y＝[f（x+𝜋12）]2+[f（x+𝜋4）]2＝sin2（x+𝜋12）+sin2（x+𝜋4）=1−𝑐𝑜𝑠(2𝑥+𝜋6)2+1−𝑐𝑜𝑠(2𝑥+𝜋2)2＝1−12(𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠𝜋6−𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛𝜋6−𝑠𝑖𝑛2𝑥)=34𝑠𝑖𝑛2𝑥−√34𝑐𝑜𝑠2𝑥+1=√32𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋6)+1，∵x∈R，∴𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋6)∈[−1，1]，∴𝑦=√32𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y＝[f（x+𝜋12）]2+[f（x+𝜋4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．考点七函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换12．（2022•浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+𝜋5）图象上所有的点（）A．向左平移𝜋5个单位长度B．向右平移𝜋5个单位长度C．向左平移𝜋15个单位长度D．向右平移𝜋15个单位长度资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7【解析】把y＝2sin（3x+𝜋5）图象上所有的点向右平移𝜋15个单位可得y＝2sin[3（x−𝜋15）+𝜋5]＝2sin3x的图象．故选：D．考点八由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式13．【多选】（2020•海南）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x+𝜋3）B．sin（𝜋3−2x）C．cos（2x+𝜋6）D．cos（5𝜋6−2x）【解析】由图象知函数的周期T＝2×（2𝜋3−𝜋6）＝π，即2𝜋|𝜔|=π，即ω＝±2，当ω＝2时，由五点作图法，得2×𝜋6+φ＝π，所以φ=2𝜋3，则f（x）＝sin（2x+2𝜋3）＝cos（𝜋2−2x−2𝜋3）＝cos（﹣2x−𝜋6）＝cos（2x+𝜋6）＝sin（𝜋2−2x−𝜋6）＝sin（𝜋3−2𝑥），当ω＝﹣2时，由五点作图法，得﹣2×𝜋6+φ＝0，所以φ=𝜋3，所以f（x）=𝑠𝑖𝑛(−2𝑥+𝜋3)=𝑐𝑜𝑠(2𝑥+𝜋6)．故选：BC．14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=𝜋6，则f（π）＝．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】8【解析】由题意：设A（x1，12），B（x2，12），则x2﹣x1=𝜋6，由y＝Asin（ωx+φ）的图象可知：ωx2+φ﹣（ωx1+φ）=5𝜋6−𝜋6=2𝜋3，即ω（x2﹣x1）=2𝜋3，∴ω＝4，又f（2𝜋3）＝sin（8𝜋3+φ）＝0，∴8𝜋3+φ＝kπ，k∈Z，即φ=−8𝜋3+kπ，k∈Z，观察图象，可知当k＝2时，φ=−2𝜋3满足条件，∴f（π）＝sin（4π−2𝜋3）=−√32．故答案为：−√32．考点九三角恒等变换15．（2023•新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2α+2β）＝（）A．79B．19C．−19