数学基础——微积分基础

补充知识微积分初步2019/10/211、函数)(xfy23xxfy)(自变量、因变量、常量、一元函数、多元函数),,,(tzyxfF补充知识微积分初步2019/10/222、导数2.1极限axfxx)(lim01232xxxxfy)(例：231123xxxx))((5123211xxxxfxxlim)(lim补充知识微积分初步2019/10/232.2函数的变化率——导数)(xfyxy——静态——动态yx,增量，可正、可负xxfxxfxy)()(00平均变化率补充知识微积分初步2019/10/24xxfxxfxyxfyxx)()(limlim)(''0000y对x的微商或导数)(,,xfdxddxdfdxdy其他表示：二阶导的表示：)(')()(''''xfdxddxdydxddxydxfy22高阶导以此类推补充知识微积分初步2019/10/252.3导数的几何意义曲线的切线:P1→P0时，0xyMPMP01tan10PP割线的斜率P1→P0时割线斜率的极限)('limtanlimtanxfxyxPP0001导数的几何意义是切线的斜率补充知识微积分初步2019/10/263、导数的运算3.1基本函数的导数运算0lim)()(lim'()()1(00xCCxxfxxfyCxfyxx常量）1)('')()2(xfyxxfyxxfyxxfy2)('')()3(2233)('')()4(xxfyxxfy补充知识微积分初步2019/10/2721'1)()5(xyxxfyxxfyxxfy21)('')()6(为任何数nnxdxdxyxynnn1'结论其它常用求导公式xxexfexfxxfxxfxxfxxfxxfxxf)(')(1)('ln)(sin)('cos)(cos)('sin)(补充知识微积分初步2019/10/283.2导数运算的几个定理定理一dxdvdxduxvxudxd)()(定理二dxdvxudxduxvxvxudxd)()()()(定理三2)]([)()(])()([xvdxdvxudxduxvxvxudxd定理四dxdvdvduxvudxd)]([(补充知识微积分初步2019/10/29例题为常数）的导数、求aaxy(122为常数）的导数。、求aaxy(ln2为常数）的导数。、求aaxy(32的导数、求xexy24的导数。、求152352xxy补充知识微积分初步2019/10/210为常数）的导数。、（、求babaxy)cos(6的导数。、求172xy为常量）的导数。（、求aexyax228补充知识微积分初步2019/10/2114、微分4.1自变量的微分—自变量的无限小增量dxx4.2函数的微分—函数的导数乘以自变量的微分dxxfdy)('dxdyxf)('补充知识微积分初步2019/10/2125、积分5.1.1变速直线运动的路程计算质点走的路程battttvttvttvttvsnab)()()()(321).()(),(),(,,,,nbnaabtvtvtvtvtntttttttt321321个时刻的速度分别为段，每段间隔分成被间隔1iittv)()(tvtOatbtt几何意义：以为高的各小矩形面积之和。iv5.1两个例子补充知识微积分初步2019/10/213niintabttvs10)(lim)(tvtOatbtt几何意义：曲线下的面积。区间内)(tvttab补充知识微积分初步2019/10/2145.1.2变力做功设力与物体运动方向一致，力与位置函数关系如图，求物体从处力对其所做的功。到bassasbss)(sFO.)(:)(,ssFAsFsnssiiab隔内力做功为为恒量，在每个小间间隔中视在每个小等分，间隔为将niissFA1)(之间所做功为：到力从bassniinsssFA10)(lim补充知识微积分初步2019/10/2155.2定积分)(xfy来表示。即：可用符号则当间隔为等分，每小段将其取自变量区间baniinxdxxfxxfxnba)(,)(lim,,10niinxbaxxfdxxf10)(lim)(被积函数上下限)(xfba,补充知识微积分初步2019/10/216babassttdssFAdttvs)()(例：补充知识微积分初步2019/10/217积分定理()()()'(),()()()()()bafxxfxxxaxbfxxxfxdxba如果被积函数是某个函数的导数，即则在到区间内对的定积分等于在这个区间内的增量，即补充知识微积分初步2019/10/2185.3不定积分及其运算函数逆导数不唯一逆导数或原函数的称为，则若)()()(')(xfxxxf函数逆导数的通式称为函数的不定积分Cxdxxf)()(补充知识微积分初步2019/10/219基本不定积分公式函数不定积分)(xfdxxf)()(1nxnCnxn11xsinCxcosxcosCxsinx1Cx||lnxeCex补充知识微积分初步2019/10/220积分运算定理dxxuadxxfaxauxf)()()()(为常数），则（一、如果dxxvdxxudxxfxvxuxf)()()(),()()(则二、如果dvvudxxvvudxxfxvvuxf)()(')()(),(')()(则三、如果补充知识微积分初步2019/10/2215.4通过不定积分计算定积分)()()()()(abdxxfCxdxxfba减即得到定积分的值将上下限的数值代入相后求得不定积分补充知识微积分初步2019/10/2221022265434325xdxaxdxxdxxdxbaxdxxxdxxsin..cossin.)sin(.)(..1例：