考研数学必背66条公式

考研数学66条笔记1、对于不等式()nnxynN两边取极限时（以极限存在为前提），除不等号外还要带上等号，即limlimnnxxxy→∞→∞≤。2、对于任意数列{}na，若满足1(2,3....)nnaAkaAn−−≤−=其中01k，则必有limnxaA→∞=。这一结论在求解递归数列的极限时是很有用的。3、设()gx在xa=可导，()xϕ在xa=连续而不可导，则()gx()xϕ在xa=处()0()0'()()gaaggaaϕ≠⎧⎨=⎩不可导若可导且导数为若4、证明'()()()()fxPxfxQx+−在(),ab存在零点，等价于证明[]()'()()()()uxfxPxfxQx+−在(),ab存在零点，其中()ux为(),ab内任意恒正的函数。受求解一阶线性方程积分因子法的启示，取()()Pxdxuxe∫=，()()()()()PxdxPxdxFxefxeQxdx∫∫=−∫5、曲率：223/223/2''''''''('')(1')yxyxyKxyy−==++6、参数方程的重积分换元123(,,)(,,)(,,)xFrstyFrstzFrst=⎧⎪=⎨⎪=⎩xyzrrrxyzdxdydzdrdsdtsssxyzttt∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂7、若()fx以T为周期的周期函数，()fx的全体原函数以T为周期的充要条件是0()0Tftdt=∫8、若()fx在区间I上有第一类间断点，则()fx在I上不存在原函数；若()fx在区间I上有第二类间断点，不确定()fx在I上存不存在原函数。9、多元初等函数的偏导数仍是初等函数，22uuxyyx∂∂=∂∂∂∂10、旋转面与柱面方程命题1：设空间曲线Γ的曲线参数方程为(),(),()xtytztϕψω===，则Γ绕z轴旋转一周的曲面方程为：2222()()()()()xxxcosyxxsinztϕψθϕψθω⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩命题2：准线方程为Γ：(,)00fxyz=⎧⎨=⎩当母线的方向向量为{},,slmn=则柱面方程(,)0lmfxzyznn−−=命题3：若准线方程是Γ：()(),(,)()xftygttzhtαβ=⎧⎪=∈⎨⎪=⎩，母线的方向向量是{},,slmn=，柱面方程是()()()xftluygtmuzhtnu=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩11、两个随机变量,XY，若XaYb=+，则当0a时1XYρ=；当0a时1XYρ=−12、设()fx在(),ab非负，[],(,)abαβ∀⊂，()fx在[],αβ可积，又设()xaxb==或是()fx的瑕点，且00lim()()(lim()())ppxaxbxafxlbxfxl→+→−−=−=或则当10pl≤+∞且时，瑕积分()bafxdx∫收敛。13、实对称的矩阵的属于不同特征值的特征值向量正交14、正交的向量组必线性无关15、知道三边长求面积用“海伦公式”1()()(),()2Spapbpcppabc=−−−=++16、(,,)zfxyr=条件“z与r无关”，潜台词就是说0zr∂=∂17、(,)(,)fxygxy=两边对x，y求偏导是相等的18、有(,)zfxy=区域xyD求极值（最值）用拉格朗日函数，求出λ若有两个，则分别算出后求其极（最）值大小19、秩为1的矩阵可以化为两个向量的积TAαα=，α为n维列向量。并且A的自乘积2AaA=，a为常数20、A的行（列）向量相互垂直，且长度相同为a，1BAa=为正交矩阵21、()()()()AEAEAEAE−+=+−满足交换律22、00ABxBx==①②由于②的解必是方程组①的解。因此，R（②的解向量）≤R（①的解向量）23、求矩阵的n次幂可化为对角阵（可化为对角阵的矩阵）来求：1~nnAAPP−Λ⇒=Λ24、矩阵A的正负惯性指数不等于主子式的正负个数25、时间A、B相互独立，A、B、AB、相互独立26、在使用公式{}()()PaxbFbFa=−时，在这里{}中的不等式应该是左开右闭的27、是对称矩阵的特征向量相互正交，1QAQ−=Λ已知Λ求A（已知A的一个特征向量）；先求出A的另外的特征向量（利用正交条件），求出Q，然后求出A28、对角阵左乘A，1121122[],(,,)nnnnAAAλαααλαλαλαλ⎛⎞⎜⎟=Λ==⎜⎟⎜⎟⎝⎠LOL29、对于连乘式的处理，可以将式子取对数，转换成和式进行分析30、E(X+Y)=E(X)+E(Y)X、Y不作独立要求E(XY)=E(X)E(Y)X、Y必须独立Cov（X，Y）=031、①矩阵A满足f（A）=0，矩阵A的特征值由()0fλ=确定②()0fλ=解出来的iλλ=只是确定了λ的取值范围，具体特征值是否有？有几个同样的特征值？还需要增加题目条件32、矩阵mnA×，对于TAA的特征值为非负：()00TTTTAxAxxAAxAAλ≥⇒⇒≥正定或半正定，33、A对应的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数34、最大似然估计值不一定要求似然函数的导数为零，有可能似然函数是恒增或者是恒减的，那么根据定义域的范围来求解最大似然估计值35、初等矩阵均是可逆的，并且有这样的表示方法（要会写出初等矩阵的表示）：()()()1111,,ijijiijEEEkEEkEkk−−−⎛⎞===−⎜⎟⎝⎠36、两个极限反常积分审敛法：①反常积分1(0)padxax+∞∫当p1时收敛，当p≤1时发散1≥p时收敛，当0p1当∫−xadxapb()1②反常积分时发散−−37、1XYρ=的充分必要条件是存在常数a、b使{}1PYaXb=+=38、证明一元函数f（x）的极限不存在的一种方法：若00,,lim()nnnnxxxxfx→∞∃→≠不存在或0000,,,nnnnxxxxyxyx∃→≠→≠使得lim()lim()nnnnfxfy→∞→∞≠，则0lim()xxfx→不存在39、对于任意数列{}na，若满足1nnaAkaA−−≤−其中0k1，则必有limnnaA→+∞=（求解递归数列的极限，数列不是单调的，先求A，后证明存在）40、设1()(123),Innnafana+==∈L、、区间，若f（x）在区间I单调上升，并且2112()aaaa，则{}na单调上升（单调递减）；若f（x）在区间I单调递减，则{}na不具有单调性（对于递归系列的复杂的数列，可以从递归函数入手，PS：先说明有界）41、证明两条曲线在某一点相切00(,)Mxy，先求交点，后求交点的导数相等/方向向量相等42、“f（x）在0xx=邻域二阶可导”换句话“f（x）在0xx=处的导数二阶导数连续”43、一般的，设f（x）在[a,b]连续，在（a,b）n阶可导，()nfx在（a,b）无零点，则f（x）在（a，b）至多有n个不同的根44、用泰勒公式的证明，关键在于选取展开点，一般来说已知条件给的点作为展开点，若已知条件给出f(x)，f’(x)的特征，可选在x处展开45、注意用词：“某点二阶可导”说明二阶导数在其邻域内是连续的；“在某点存在二阶导数”说明在该店处是可导的，但是在其邻域内不一定可导46、周期函数的导数依然是以T为周期的周期函数，而周期函数的原函数可就不一定是周期函数。只有当0()0Tftdt=∫时，f（x）的全体原函数为周期为T的周期函数47、求取不定积分原函数的时候有一种方法，叫做“分项积分”一般应用在同种类型的函数结构构成的分式中（裂项公式）48、两个矩阵相似可以推出12,AA的特征值相同，两矩阵的特征值相同不能推出相似；12,AA特征值相等并且12()()REAREAλλ−=−可以得出结论“12,AA相似”49、求x→+∞时的极限，通常以“抓大头”的办法，所谓“抓大头”就是取分子、分母中趋于+∞最快的项（指数式幂式对数式）50、看清题目中的用字：“任意”一般来说范围很广，可以向要处理的式中带入特定的的值或表达式，向目标推导常数+=⇒+=⇒=−+=−ρDXYXYcXYcXY(2)02()2,1、52）a=1/t±x时，用到代换可能成功（设1≥n-m）的最高次数，当a±x分别为被积函数分子、分母关于（n、m关于倒代换，设、5153、()XFx为分布函数，考察xa=点是否连续：{}{}0PXaPXa≤−=则连续，否则不连续54、10()(0)rxrxedxr+∞−−Γ=∫是参数r的函数，称为Γ函数，Γ函数的一个重要性质为(1)()rrrΓ+=Γ，特别的(1)!nnΓ+=55、()()()ijXXiiiiDXDXDX=⎯⎯⎯⎯⎯→∑∑与相互独立()()()2(,)ijXXiiijiiijDXDXDXCovXX=⎯⎯⎯⎯⎯⎯→+∑∑∑∑与不相互独立56、222123123121323(,,)553266fxxxxxxxxxxxx=++−+−则123(,,)1fxxx=表示何种二次曲面？将123(,,)1fxxx=对角化，可以得到2223491fyy=+=，f表示椭圆柱面57、正交变换不改变向量长度58、矩阵A正定的必要条件0(1,2,3),0iiainA=L，合同变换不改变矩阵的特征值59、旋转曲面围成的平面的方向为右手螺旋定则所规定的60、已知()yyx=的曲线，与x轴围成图形的型心,xy()0()20()12byxbaabbaabbyxaabbaadxxdyyxxdxxydxydxydxdxydyyydxydx====∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫61、对于222'''(,,)0|'|xyzyFFFFxyzdSdxdyF++==的隐函数的形式可以使得计算得到化简62、(,)fxy在公共点0M处的法向量为00(',')|(,)|xyMMffgrandfxy=63、*1***2*1();()||;||=|A|nnnkAkAAAAA−−−==64、若A列满秩()()RABRB=，()()TRAARA=（2012年数学一考过）+≤⊂≤∪≤YxXxYxX2}{}{}{、66，发散，收敛∑⎩≤⎨⎧=∞qnnqnq1ln112、65