微积分：六个不定积分计算步骤及其答案D6

微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算28x-2714x²-27x+4dx。解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(14x²-27x+4)'=28x-27，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式dxx=lnx+c来变形计算。28x-2714x²-27x+4dx=d(14x²-27x)14x²-27x+4=d(14x²-27x+4)14x²-27x+4=ln|14x²-27x+4|+C。2.计算(28x²-3)²dx.解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：(28x²-3)²dx=(28²x⁴-168x²+3²)dx,=28²x⁴dx-168x²dx+3²dx,=15*28²x⁵-13*168x³+3²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：(28x²-3)²dx=(28x²-3)²x-xd(28x²-3)²，=(28x²-3)²x-4*28x²(28x²-3)dx，=(28x²-3)²x-4*28(28x⁴-3x²)dx，=(28x²-3)²x-4*28²x⁴dx+4*28*3x²dx,=(28x²-3)²x-45*28²x⁵+23*168x³+C。3.积分dx(x²-42x+712)的计算。解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=42²-4*712＜0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式dx1+x²=arctanx+C变形计算即可，有：dx(x²-42x+712)=dxx²-42x+441+271=dx(x-21)²+271=1271dx1+(x-21)²271=1271dx2711+(x-21)²271,=1271arctanx-21271+C。4.计算(328x+8x37)²dx.解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：(328x+8x37)²dx=[(328x)²+2*328*837+(8x37)²]dx,=(328)²dxx²+12259dx+(837)²x²dx,=-(328)²x+12x259+13*(837)²x³+C。5.计算(13x³-12x²+31)67(39x²-24x)dx不定积分计算解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(13x³-12x²+31)'=39x²-24x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：(13x³-12x²+31)67(39x²-24x)dx=(13x³-12x²+31)67d(13x³-12x²+31),=168(13x³-12x²+31)68+C.6.计算xln(x-64)dx。解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：xln(x-64)dx=12ln(x-64)dx²，=12x²ln(x-64)-12x²dln(x-64),=12x²ln(x-64)-12x²dxx-64,=12x²ln(x-64)-(x+64)dx-64²d(x-64)x-64,=12x²ln(x-64)-12x²-64x-(64)²*ln(x-64)+C。