微积分：六个不定积分计算步骤及其答案D7

微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算12x-166x²-16x+4dx。解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(6x²-16x+4)'=12x-16，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式dxx=lnx+c来变形计算。12x-166x²-16x+4dx=d(6x²-16x)6x²-16x+4=d(6x²-16x+4)6x²-16x+4=ln|6x²-16x+4|+C。2.计算(10x²-7)²dx.解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：(10x²-7)²dx=(10²x⁴-140x²+7²)dx,=10²x⁴dx-140x²dx+7²dx,=15*10²x⁵-13*140x³+7²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：(10x²-7)²dx=(10x²-7)²x-xd(10x²-7)²，=(10x²-7)²x-4*10x²(10x²-7)dx，=(10x²-7)²x-4*10(10x⁴-7x²)dx，=(10x²-7)²x-4*10²x⁴dx+4*10*7x²dx,=(10x²-7)²x-45*10²x⁵+23*140x³+C。3.积分dx(x²-16x+115)的计算。解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=16²-4*115＜0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式dx1+x²=arctanx+C变形计算即可，有：dx(x²-16x+115)=dxx²-16x+64+51=dx(x-8)²+51=151dx1+(x-8)²51=151dx511+(x-8)²51,=151arctanx-851+C。4.计算(3180x+52x9)²dx.解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：(3180x+52x9)²dx=[(3180x)²+2*3180*529+(52x9)²]dx,=(3180)²dxx²+40390dx+(529)²x²dx,=-(3180)²x+403x90+13*(529)²x³+C。5.计算(21x³-33x²+28)104(63x²-66x)dx不定积分计算解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(21x³-33x²+28)'=63x²-66x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：(21x³-33x²+28)104(63x²-66x)dx=(21x³-33x²+28)104d(21x³-33x²+28),=1105(21x³-33x²+28)105+C.6.计算xln(107x-56)dx。解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：xln(107x-56)dx=12ln(107x-56)dx²，=12x²ln(107x-56)-12x²dln(107x-56),=12x²ln(107x-56)-1072x²dx107x-56,=12x²ln(107x-56)-(x+56107)dx-(56107)²d(107x-56)107x-56,=12x²ln(107x-56)-12x²-56x107-(56107)²*ln(107x-56)+C。