清华大学微积分考试真题1

作者：闫浩2011年9月Page1of3微积分B(1)第一次习题课题目（第二周）一、集合的上下界、确界1．证明1）21yx=在定义域内有下界，无上界；2）设0d，则21yx=在(,][,)dd-∞-+∞U上有界。（思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？）2.设,AB均是非空有界数集，定义+{+|,}ABxyxAyB=∈∈。证明：（1）inf()infinfABAB+=+；（2）sup()supsupABAB+=+3.设,AB均是由非负实数构成的有界数集，定义{|,}ABxyxAyB=∈∈。证明：（1）infinfinfABAB=⋅；（2）supsupsupABAB=⋅二、函数及其性质4．1）设xexf=)(，且xxf-=1))((j，求函数)(xj的定义域．2）设函数)(xf的定义域为]1,0[，求函数)cos1(1)(sin1)(xfxxfxxgπ+⋅++π⋅-=的定义域5．1）设1()(2,3)2fxxxx=≠≠-且，求(()),((()))ffxfffx2）设xxxf+=)(，⎩⎨⎧≥=00)(2xxxxxg，求))(()),((xfgxgf6．1）已知函数()fx定义域为R．如果对于任意x都有()()faxfbx+=-，那么()fx的图像有什么性质？2）已知函数()fx，请说明函数()fax+的图像与函数()fbx-的图像关于哪条直线对称。7．已知函数)(xf的定义域为),(+∞-∞，且)(xf的图像关于直线ax=与bx=对称，)(ba，证明)(xf是以)(2ab-为周期的周期函数．8．已知函数)(xf满足：对任意的实数yx,，有)()()(yfxfyxf+=+。当0x时，有0)(xf，并且2)1(=-f。作者：闫浩2011年9月Page2of31)求证)(xf为奇函数；2）)(xf在]3,3[-上是否存在最值？如果存在,求出最值，如果不存在,请说明理由；3）设0b，解关于x的不等式：2211()()()()22fbxfxfbxfb--9．(1)函数)1(21)(≥+-=xxxf的反函数是（2）若点)3,4(既在函数baxy++=1的图像上，又在它的反函数的图像上，求函数的解析式．（3）若2(1)23(1)fxxxx-=-+≤，求1(4)f-等于(4)已知函数)(xfy=存在反函数，那么与函数)(xfy=的反函数图像关于原点对称的图像所对应的函数表达式为.(5)函数33(),()232xfxxx-=≠-，若)1(+=xfy的图像是1C，它关于直线y=x对称图像是22,CC关于原点对称的图像为33,CC则对应的函数解析式是_________________．10.试写出一个从[0,1]到(0,1)的一一对应映射．三、不等式11．1）试证明Cauchy不等式：(1,2,),(1,2,)iiainbin==LL为两组实数，求证：222222211221212()()()nnnnabababaaabbb+++≤++++++LLL并考虑取得等号的条件．2）证明：222121212,,,0,nnnaaaaaaaaann+++++≥LLL有:12．利用导数与单调性的关系证明：当0x时，有ln(1)1xxxx++四、数学归纳法（第一数学归纳法、第二数学归纳法、归纳，猜想，证明）13．（Bernoulli不等式）证明对于任意的正整数n，(1)1,1nxnxx+≥+∀≥-．14．数列{}na中，221122tan,sincosnnnaaaaqqq++==+，并且lim0nna→∞=(1)求证:2222211sincossincosnnaaaaqqqq++=+作者：闫浩2011年9月Page3of3(2)求q的范围，使得当n趋于正无穷时，{}na的部分和nS存在极限。15．设*nN∈，12cosxxq+=，求证:12cosnnxnxq+=．16．斐波那契数列{}nF满足12211,nnnFFFFF++===+，求证:11515[()()]225nnnF+-=-五、参数方程、极坐标17．过抛物线22(0)ypxp=的顶点O作两条相互垂直的弦,OAOB．设OA的斜率为k，用k表示出,AB两点的坐标．并求AB中点的轨迹方程．18．将参数方程化成普通方程：（1）ttttxeeyee--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（2）2221121txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（3）cos21cos2sin21cos2xyqqqq⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩19．两条直线1110AxByC++=与2220AxByC++=相交，那么过他们交点的直线系方程可以表示为111222()0AxByCAxByCl+++++=（不包括第二条直线）请用参数的观点解释为什么可以这样表示．20．极坐标系中，求过点(6,),(7,)36pp的直线的极坐标方程以及这两点间的距离．21.1）已知极坐标系中圆的方程为2(3cossin)3rrqq+-=，求该圆的圆心．2）极坐标系中，直线3pq=被以(2,)2p为圆心，半径为1的圆截得的弦长为多少？3）极坐标系中，已知1:cos()13lprq-=求该直线关于极点，极轴，以及4pq=的对称直线的极坐标方程．22．将平面直角坐标系xOy绕着坐标原点逆时针旋转q弧度后得到坐标系xOy′′．某一点P在原坐标系下的坐标为(,)xy，在新的坐标系下的坐标为(,)xy′′，求证：cossinsincosxxyyxyqqqq′=+⎧⎨′=-+⎩．作者：闫浩2011年9月Page1of12微积分B(1)第一次习题课题目参考答案（第二周）一、集合的上下界、确界1．证明1）21yx=在定义域内有下界，无上界；2）设0d，则21yx=在(,][,)dd-∞-+∞U上有界。（思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？）证明：1）210x，因此21yx=有下界。0G∀，取12GxG=，得到214GGyGGx==，因此21yx=无上界。2）0d，当(,][,)xdd∈-∞-+∞U时，有22110xd≤，此时21yx=有界。2.设,AB均是非空有界数集，定义+{+|,}ABxyxAyB=∈∈。证明：（1）inf()infinfABAB+=+；（2）sup()supsupABAB+=+证明：仅证（1）；（2）的证法类似于（1）。设inf,infaAbB==，由确界的定义，,xAyB∀∈∈均有,xayb≥≥，因此xyab+≥+，即ab+是集合AB+的一个下界，另一方面0,,xAyBeee∀∃∈∈，使得,22xaybeeee++，因此,xyabeee+++即inf()infinfABabAB+=+=+.3.设,AB均是由非负实数构成的有界数集，定义{|,}ABxyxAyB=∈∈。证明：（1）infinfinfABAB=⋅；（2）supsupsupABAB=⋅证明：（1）略，仅证（2）。设sup,supaAbB==，若==0ab，则结论显然成立，下面设0ab，。由确界的定义，,xAyB∀∈∈均有0,0xayb≤≤≤≤，因此0xyab≤≤，即ab是集合AB的一个上界。另一方面0e∀，对于abe+,xAyBee∃∈∈使得作者：闫浩2011年9月Page2of12,xaybababeeee--++，因此2()()()()xyababababababababeeeeeee--=-++-++++即supsupsupABabAB==⋅。注：（1）的证明中，也要用到类似“0e∀，对于abe+,xAyBee∃∈∈使得,xaybababeeee--++”的技巧。二、函数及其性质4．1）设xexf=)(，且xxf-=1))((j，求函数)(xj的定义域．2）设函数)(xf的定义域为]1,0[，求函数)cos1(1)(sin1)(xfxxfxxgπ+⋅++π⋅-=的定义域解:1）由xexf=)(，得到.1))(()(xexfx-==jj因此)1ln()(xx-=j．所以)(xj的定义域为(,1)-∞．2）由f的定义域为]1,0[，得到1010sin[0,1]cos[1,0]xxxxpp-≥⎧⎪+≥⎪⎨∈⎪⎪∈-⎩。解得1[,1]{1}2x∈-U.5．1）设1()(2,3)2fxxxx=≠≠-且，求(()),((()))ffxfffx2）设xxxf+=)(，⎩⎨⎧≥=00)(2xxxxxg，求))(()),((xfgxgf解：1）11235(())(2,3,,)12()322322xffxxfxxx-===≠----1323547((()))(2,3,,,,)2(())432335xfffxxffxx-==≠--2）22()()020(())()|()|0()000gxgxxxfgxgxgxgxx≥⎧≥⎧=+==⎨⎨⎩⎩；222()()040(())[()][()]()000fxfxxxgfxfxfxfxx⎧⎧≥===⎨⎨≥⎩⎩作者：闫浩2011年9月Page3of126．1）已知函数()fx定义域为R．如果对于任意x都有()()faxfbx+=-，那么()fx的图像有什么性质？2）已知函数()fx，请说明函数()fax+的图像与函数()fbx-的图像关于哪条直线对称。解:1）()fx的图像关于直线2abx+=对称．事实上，()fx图像上任意一点00(,())xfx关于直线2abx+=的对称点为00(,())abxfx+-．我们只需要说明00(,())abxfx+-仍然在()fx的图像上即可．由()()faxfbx+=-我们得到，对于任意的x，都有()()fabxfx+-=，即00(,())abxfx+-在()fx的图像上．由0x的任意性，我们得到()fx的图像关于直线2abx+=对称．2）()fax+与函数()fbx-关于直线2bax-=对称。()fax+的图像是由()fx向左平移a个单位得到，并且()fx图像上任意一点00(,())xfx经过平移后的坐标为00(,())xafx-，因此00(,())xafx-在()fax+的图像上。()fx的图像向左平移b个单位得到()fbx+的图像，同样的道理得到00(,())xbfx-在()fbx+的图像上。再将()fbx+的图像关于y轴对称，得到()fbx-的图像，这样00(,())bxfx-在()fbx-图像上。而00(,())xafx-与00(,())bxfx-关于直线2bax-=对称，并由0x的任意性，得到()fax+与()fbx-的图像关于直线2bax-=对称。7．已知函数)(xf的定义域为),(+∞-∞，且)(xf的图像关于直线ax=与bx=对称，)(ba，证明)(xf是以)(2ab-为周期的周期函数．证明：由于)(xf的图像关于直线ax=对称，所以对于任意的x，有()()faxfax+=-，同理有()()fbxfbx+=-。因此()(2)(2(2))(2())fxfaxfbaxfbax=-=--=-+，即)(xf是以)(2ab-为周期的周期函数。（思考：一个函数不是周期函数如何叙述？）8．已知函数)(xf满足：对任意的实数yx,，有)()()(yfxfyxf+=+。当0x时，有作者：闫浩2011年9月Page4of120)(xf，并且2)1(=-f。1)求证)(xf为奇函数；2）)(xf在]3,3[-上是否存在最值？如果存在,求出最值，如果不存在,请说明理由；3）设0b，解关于x的不等式：2211()()()()22fbxfxfbxfb--证明：1）当0==yx时，有)0(2)0(ff=，所以0)0(=f。当xy-=时，有)()()0(xfxff-+=，所以)()(xfxf-=-，即)(xf为奇函数。解：2）先考察)(xf的单调性。)(,2121xxRxx∈∀，由已知条件得到0)(12-xxf，即0)()(12-+xfxf。所以)()()(112xfxfxf=--。)(xf为R上的减函数。因此)(xf在]3,3[-上有最值，最大值6)1(3)3(=-=-ff,最小值6)3(-=f.3)当xy=时，有)(2)2(xfxf=，所以对于任意的x，有)2(21