清华大学微积分考试真题3

作者：闫浩2011年9月Page1of2微积分B(1)第三次习题课题目（第五周）一、无穷大量1.已知lim+nna→∞=∞，求证：12lim+nnaaan→∞+++=∞L2.证明：数列{}na没有收敛子列等价于limnna→∞=∞。3.已知数列{}na单增，12limnnaaaAn→∞+++=L，证明：limnnaA→∞=。二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano定理，区间套，有限覆盖）4．设122(1,2,)101010nnnpppan=+++=LL，其中{}kp是一有界非负数列，试证数列{}na收敛．5．设nnnqaqaqaab++++=L2210，其中1q且数列{}ka有界，试证数列{}nb收敛．6．若数列}{na满足),2,1(11L=-≤--+naaqaannnn，其中10q，试证数列}{na收敛．7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。（1）对于任意的*p∈¥，均有lim()0npnnaa+→∞-=。（2）0e∀,*N∃∈¥,只要nN,就有||nNaae-（3）0e∀,*Ne∃∈¥以及Ae∈¡,只要nNe,就有||naAee-8.设数列{}na和{}nb有界,证明：存在正整数列{}kn,满足1kknn+，使得lim,limkknnkkab→∞→∞均存在。9.证明：有界数列{}na若不收敛，则必存在两个子列{}kna、{}kma，使得lim,limkknmkkaaab→∞→∞==且ab≠。10.（1）利用Cauchy收敛准则证明单调有界数列收敛。（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛作者：闫浩2011年9月Page2of2三、其他11．证明Stolz定理：设{}na和{}nb为两个数列，若}{nb单调增加，且+∞=∞→nnblim，Abbaannnnn=--++∞→11lim，则Abannn=∞→lim．12．利用Stolz定理求下列极限（1）2212limnnaaann+++∞→L，其中aann=∞→lim．（2）121lim+∞→+++mmmmnnnL，m为自然数．（3）211112122223222lim212121---→∞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠---Lnnnnn．13.设120xx,21nnnxxx++=,证明:limnnx→∞存在,并求其值.四、函数极限的定义14.用函数极限的定义证明：（1）2221lim2.3xxx→∞+=-（2）11limarctan.12xxp-→=-（3）22lim(sin2sin1)0xxx→∞+-+=．（4）设1,0ak，利用lim0,knnna→∞=求证：lim0kxxxa→+∞=．作者：闫浩2011年9月Page1of10微积分B(1)第三次习题课题目参考答案（第五周）一、无穷大量1.已知lim+nna，求证：12lim+nnaaan证明：由于lim+nna，10,GN，使得1nN时，4naG，此时1112121214()NnNnaaaaaaaaaanNGnnnn。由于1121lim0,lim1NnnaaanNnn，因此2N，使得2nN时，有112NaaaGn且112nNn。取12max{,}NNN，当nN时，有112121()1442NnaaaaaanNGGGGnnn。2.证明：数列{}na没有收敛子列等价于limnna。证明：)假设{}na有收敛子列，记为kna，因此kna有界，即0.knMkaM因此对于0M，任给N，都存在子列中的项knN，||knaM，因此{}na不是无穷大量，与limnna矛盾)设{}na不是无穷大量，则0.nMNnNaM对于1N，存在111nnaM;对于1Nn，存在212nnnaM……….对于kNn，存在11.kkknnnaM………由此得到na的子列kna，满足.knkaM所以kna有界，因此有收敛子列，这个收敛子列也是na的收敛子列，与已知矛盾。3.已知数列{}na单增，12limnnaaaAn，证明：limnnaA。证明：不妨设{}na单调递增，若{}na无上界，那么limnna，因此作者：闫浩2011年9月Page2of1012limnnaaan，与12limnnaaaAn矛盾，因此{}na有上界。又由于{}na单调递增，limnna存在，此时有12limlimnnnnaaaaAn.二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano定理，区间套，有限覆盖）4．设122(1,2,)101010nnnpppan，其中kp是一有界非负数列，试证数列na收敛．证法1：单调有界收敛定理．设Mpk0，则MMMpppannnnn91101110111010110110110101002221，即数列na有界．又易知数列na单增，所以数列na收敛．证法2：Cauchy收敛准则．由于1212111110191010101010110mnnnmnmnnmnnnnpppMMaa，所以任给0，由1910nM得log9Mn．取19logMN，则对于任意的,0nNm，均有1910nmnnMaa，即数列na是一Cauchy列，所以收敛．5．设nnnqaqaqaab2210，其中1q且数列ka有界，试证数列nb收敛．证明：Cauchy收敛准则．设Mak，则112112111mnnnnmnnmnnmnnqMbbaqaqaqMqqqq．由此易证数列nb是一Cauchy列，所以收敛．6．若数列}{na满足),2,1(11naaqaannnn，其中10q，试证数列}{na收敛．证明：0，因为作者：闫浩2011年9月Page3of1011211212111211111nmnnmnmnmnmnnmmnnmnnnaaaaaaaaqqqaaaaqqaaqMqqq，所以当取1logMNq，且Nn时，有nmnaa对任意的0m都成立．即数列}{na为柯西列，所以收敛．7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。（1）对于任意的*p，均有lim()0npnnaa。（2）0,*N,只要nN,就有||nNaa（3）0,*N以及A,只要nN,就有||naA解：（1）不等价，反例lnnan。事实上，（1）等价于*,0p,*N,只要nN,就有||npnaa。（2）等价。（2）推出柯西准则：由（2）0,对02*N,只要nN,就有||2nNaa.因此,nmN时||||||22nmnNmNaaaaaa。柯西准则推出（2）：由柯西准则，0,*N,只要,nmN，就有||nmaa。取11NN,1nN时,1||nNaa.(3)等价。（3）推出柯西准则的方法类似于（2）柯西准则推出（3）:0,*N,只要,nmN，就有||nmaa。令1NAa即可。8.设数列na和nb有界,证明：存在正整数列kn,满足1kknn，使得lim,limkknnkkab均存在。证明：由于na有界，因此na存在收敛子列设为{}lma。下面考虑nb的子列{}lmb，注意到{}lmb仍然为有界数列，因此{}lmb存在收敛子列{}lkmb，它当然也是nb的收敛子列。作者：闫浩2011年9月Page4of10而{}lkma为收敛子列{}lma的子列，因此{}lkma也收敛。所以存在正整数列kklnm，使得lim,limkknnkkab均存在。9.证明：有界数列na若不收敛，则必存在两个子列kna、kma，使得lim,limkknmkkaaab且ab。证明：由于na有界，因此存在收敛子列kna，设limknkaa。由于na不收敛，特别的也不收敛于a,因此00，使得00(,)aa外有na的无穷多项，这无穷多项仍然有界，因此存在收敛子列kma，设limkmkab，注意到kma均满足：0||kmaa，由极限的保号性，得到0||ba，因此ab。10.（1）利用Cauchy收敛准则证明单调有界数列收敛；（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛。证明：（1）假设na为单调递增有上界的数列，但发散。由Cauchy收敛准则，00，*N，都存在,:mnmnN，但是0||mnaa。对于1N,存在111mn,使得110||.mnaa对于1,Nm,存在221mnm,使得220||.mnaa…………对于,kNm,存在11kkkmnm,使得0||.kkmnaa………….从而子列{}kma无界.矛盾！（2）假设nx为单调递增有上界的数列。任取11,ab使得1a不是nx的上界，1b是上界。将区间11[,]ab分为111111[,],[,]22ababab两个子区间。若112ab是nx的上界，则记11212,;2abaab若112ab不是nx的上界，则记11221,.2ababb………….0000111()2kkkkkmnmnnaaaaa00122(1).kmmaak作者：闫浩2011年9月Page5of10由此取得区间套[,].nnab根据区间套定理，存在1[,].nnncab下面证明c是数列的极限。对于任意的正数,因为lim()0,nnnba所以11||.nnNnNba因为1Na不是上界，所以存在N使得1.NNxa从而1.nNNnNxxa因为1Nb是nx的上界，所以11||.nNNnNxcba三、其他11．证明Stolz定理：设na和nb为两个数列，若}{nb单调增加，且nnblim，Abbaannnnn11lim，则Abannnlim．证法1：令Abbaacnnnnn11，则0limnnc，即对0，0N，当Nn时，nc．由于),()()()())(())(())(())(())(())((1211111211111211211NnnnnnnnNNNNnnnnnnNNNNnnnnnnnnnnnnbbAbbcbbcbbcabbAcbbAcbbAcabbAcbbAcabbAcaa所以111121,NNNnnnnnnnNNnnnNNnNnnNNncbbcbbcbbaaAbAbbbaAbbbbbaAbb因为nnblim，所以对于上述0，01N，当1Nn时，nNNbAba．作者：闫浩2011年9月Page6of10取},max{12NNN，则当2Nn时，2Abann，即Abannnlim．证法2：0，因为11limnnnnnaaAbb，所以3,N3nN