线性代数线性方程组解的结构

第3章线性方程组二、齐次线性方程组解的结构与解法三、非齐次线性方程组解的结构与解法下页一、线性方程组的同解变换3.1线性方程组的同解变换含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+若b=(b1,b2,…,bm)≠o，则称(1)为非齐次线性方程组；若b=(b1,b2,…,bm)＝o，即a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxn000====++++++++++-+……(2)则称(2)为齐次线性方程组,或(1)的导出组.下页……(1)代数方程可用矩阵形式表示为AX=b,b=，b1b2bmA=，a11a21am1a12a22am2a1na2namnX=，x1x2xn对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为AX=o.o=000其中，下页含有m个方程n个未知量的线性方程组a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+……(1)矩阵方程可用向量形式表示为对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为其中，下页含有m个方程n个未知量的线性方程组a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+……(1)向量方程1122,nnxxxb+++=1122.nnxxxo+++=12,1,2,...,,jjjmjaajna==12,mbbbb=00.0o=称为方程组的系数矩阵.A=a11a21am1a12a22am2a1na2namn11121121222212()nnmmmnmaaabaaabaaab==AAb称为方程组的增广矩阵.下页系数矩阵与增广矩阵例1．解线性方程组3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-方程组的解为x1x2x3712=-=-=于是得到x2=3-2x3=-1=-7x1=3+2x2-4x3x3=2+4x3=3-2x2x1+x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-解：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2+4x3=3-2x2x1x3=2+2x3=3x2——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2消元法解方程组过程下页由上述求解过程可看出，对方程组的化简施行了三种运算：•用一个非零数乘以方程；•用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去.•互换两个方程的位置；我们称上述三种运算为线性方程组的初等变换.显然，对方程组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解.利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组，再利用回代法解出未知量的过程，叫做高斯消元法.可以看出，对方程组（1）施行的初等变换，与未知量无关，只是对未知量的系数及常数项进行运算.这些运算相当于对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换.下页线性方程组的初等变换.+4x3=3-2x2x1+x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-例1.+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2(Ab)=1-243-14153-514123-514121-243-141501231-243025801231-2430012——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程.消元法与矩阵的初等行变换下页x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2——r3-2r201231-2430012——r3-2r2消元法与矩阵的初等行变换下页x3=2=-5-2x2x1=-1x2——r2-2r3r1-4r3010-11-20-50012——r2-2r3r1-4r3x3=2=-7x1=-1x2——r1+2r2010-1100-70012——r1+2r2行最简形矩阵行阶梯形矩阵用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程.总结:对方程组施行的初等行变换，与未知量无关，只是对未知量的系数及常数项进行运算.这些运算相当于对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换化为行最简形矩阵.下页消元法与矩阵的初等行变换第2节齐次线性方程组解的结构2.1齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组为AX＝o,则AX＝o可表示为111212122212,nnmmmnaaaaaaaaa=A12,nxxx=X00.0=o若把矩阵A按列分块为12(),n=A根据向量组相关性的定义，有定理1齐次线性方程组AX＝o有非零解的充要条件是：矩阵的列向量组1,2,，n线性相关.其中,即r(A)n.下页1122.nnxxxo+++=齐次线性方程组AX＝o只有唯一零解的充要条件是：矩阵的列向量组a1,a2,，an线性无关.即r(A)=n.定理1齐次线性方程组AX＝o有非零解的充要条件是：矩阵的列向量组1,2,，n线性相关.即r(A)n.齐次线性方程组AX＝o只有唯一零解的充要条件是：矩阵的列向量组a1,a2,，an线性无关.即r(A)=n.推论1如果齐次方程组中方程的个数小于未知量的个数，则该方程组必有非零解.推论2n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.下页2.2齐次线性方程组解的性质性质1若x1，x2都是齐次线性方程组AX=o的解，则X=x1+x2也是它的解.这是因为A(x1+x2)=Ax1+Ax2=o.=o+o性质2若x是齐次线性方程组AX=o的解，k为实数，则X=kx也是它的解.这是因为A(kx)=k(Ax)=o.=k(o)推论如果x1,x2,,xs是齐次线性方程组AX=o的解，则其线性组合1122sskkkξξξ+++,仍是AX=o的解.为任意常数.12,,skkk其中下页基础解系的概念定义3设x1,x2,,xs都是AX=o的解,并且(1)x1,x2,,xs线性无关；(2)AX=o的任一个解向量都能由x1,x2,,xs线性表示，则称x1,x2,,xs为线性方程组AX=o的一个基础解系.定理2设A是m×n矩阵，若r(A)=rn，则齐次线性方程组AX=o的基础解系含有n-r个解向量.即当r(A)=rn时，齐次线性方程组AX＝o解向量组的秩为n-r.下页2.3齐次线性方程组解的结构通解（方程组的全部解）可以表示为：1122sskkkxxx+++证：因为r(A)=r,所以可利用初等行变换把A化为行最简形矩阵,不失一般性设其为：------+++00000000001000100011,21,211,1rnrrnrnrcccccc由此得到原方程组的等价方程组(同解方程组)：11,(1)1122,(1)12,(1)1rrnnrrnnrrrrrnnycycyycycyycycy++++++=++=++=++11,(1)1122,(1)12,(1)1000rrnnrrnnrrrrrnnycycyycycyycycy++++++---=---=---=进而得到方程组用自由未知量表示的一般解：下页从而得到方程组的n-r个解向量:由(*)式分别得到相应的解12,,,,ryyy12100rrnyyy++=010100,,…,11,(1)1122,(1)12,(1)1(*)rrnnrrnnrrrrrnnycycyycycyycycy++++++=++=++=++11,(1)1122,(1)12,(1)1000rrnnrrnnrrrrrnnycycyycycyycycy++++++---=---=---==++0011,1,11rrrccx=++0102,2,12rrrccx，…，=-100,,1nrnrnccx令由此得到方程组用自由未知量表示的一般解：下页=++0011,1,11rrrccx=++0102,2,12rrrccx，…，=-100,,1nrnrnccx下证rn-xxx,,,21是方程组的一个基础解系.由左下式可以看出rn-xxx,,,21的后n-r个分量，就是n-r个n-r维单位向量，它们是线性无关的，因而添加了r个分量的向量组也是线性无关的.下页从而得到方程组的n-r个解向量:由(*)式分别得到相应的解,,,,21rxxx12100rrnyyy++=010100,,…,令①先证明向量组线性无关.rn-xxx,,,21②再证明方程组的任意一个解rn-xxx,,,21线性表示.设是方程组的任一解.方程组的n-r个解向量:=++0011,1,11rrrccx=++0102,2,12rrrccx，…，=-100,,1nrnrnccx下页11,(1)1122,(1)12,(1)1(*)rrnnrrnnrrrrrnnycycyycycyycycy++++++=++=++=++1212rrrnkkkkkk++=ξ都可由11,(1)1122,(1)12,(1)1rrnnrrnnrrrrrnnkckckkckckkckck++++++=++=++=++则1122rrnnrkkkxxx++-=+++下页x11121212221212100010001rrnrrnrrrrrnrrnccccccccckkk+++++++++++11111222211222112212000000nnrrrrnnrrrrrnnrrrrrrrrnckckckckckckckckckkkk+++++++++++++++++