机械可靠性设计0704分析方法

机械可靠性设计§4.3一次二阶矩方法求可靠度_工程方法第四章机械可靠性设计分析方法§4.1干涉面积法§4.2分布代数§4.4蒙特卡洛模拟方法§4.5变异系数传递规律从可靠度计算的普遍方程可以看出，对于应力和强度比较复杂的分布，由于积分困难，往往难以得出问题的解析解。因此如何采用一些较好的近似方法，能比较方便地求得满足工程精度要求的零件可靠度的近似解，一直是人们探讨的一个问题。3-1应力和强度概率密度曲线的干涉面积Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a2应力和强度两个概率密度函数的交叉区，即干涉区阴影面积的大小，反映了零件或结构可靠度的高低。该面积越小，可靠度越高，反之，可靠度越低。干涉面积的大小是由两个概率密度函数平均值的相对位置及方差决定的。可靠度可否通过计算该面积的大小给出？3-1应力和强度概率密度曲线的干涉面积Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a2§4.1干涉面积法设应力、强度两概率密度函数曲线的交点横坐标为s0=r0，并令010()dragrr02()dsafss在应力s、强度r相互独立的情况下，零件的失效概率(不可靠度)可表示为sf00()()()()dpFtPrsfsgrdrssf00()()()()dpFtPrsfsgrdrs00s0()()drfsgrdrs0112()drafssaa12fpaars00()()()ddpRtgrfssr另一方面，零件的可靠度可表示为0r()1()ddgrfssr00s()1()ddgrfssr0220(1)()d(1)()dragrragrr02210(1)1()d(1)(1)ragrraa即有2112121(1)(1)1fpaaaaaa1212fpaaaa12fpaa121212faapaaaa12121211saapaaaa可见，失效概率数值上不等于干涉区的阴影面积。由于可靠度R(t)总是小于(1-a1a2)，所以(1-a1a2)可作为零件可靠度的上限，成为衡量可靠性的一种指标，称为零件的非失效保证度。若已知应力和强度的概率密度函数f(s)、g(r)，便可求出干涉面积a1和a2，由此便可估计出零件的可靠度。例4-1设某一零件的强度r和作用在该零件上的应力s均为正态分布。强度的均值和标准差分别为μr=180Mpa，σr＝8Mpa，应力的均值和标准差分别为μs＝150Mpa，σs＝6Mpa，试计算该零件的可靠度和非失效保证度。解：由于应力和强度均服从正态分布，所以有2222180150386rsrs则可靠度为()()(3)0.9987Rt现用干涉面积法估算零件的可靠度，因s0=r0处有f(s0)=g(r0)所以有20018011()exp2882rgr20015011()exp2662sfs解得s0=r0=163.5MPa，因此求得a1和a2分别为163.510()dagrr22163.5163.511150()dexp2662safssds2163.5011180exp2882rdr(2.0625)0.0197(2.25)0.01221212fpaaaa12110.01970.01220.99976Raa可靠度的上限RU=0.9976比理论值高万分之十一，同样，可靠度下限121210.96834LRaaaa所以有0.99976()0.96834Rt经验公式()1(1)(1)ULRtRR1(10.99976)(10.96834)0.9973该式结果与理论值相比误差约为0.14%，可见，干涉面积法得出的零件可靠度近似值，精度还是比较高的。该例应力与强度均为正态分布，是为了将近似值与理论值比较，该法对其他任何形式的应力和强度的分布均适用强度、应力和它们的干涉变量及其他许多随机事件往往需要用两个、三个或更多随机变量的函数Z=f(x1,x2,…,xn)来描述。与实数代数一样，随机变量也可以通过一系列公式进行代数运算。§4.2分布代数当已知其中每一个随机变量xi(i＝l，2，…n)的均值μi和标准差σi时，可以通过随机变量的代数运算来确定函数Z=f(xi)的均值μz和标准差σz，从而运用联结方程求得零件的可靠性系数和可靠度。一、独立随机变量的加法ZXY1222()ZXY若已知随机变量X的均值μX和标准差σX，随机变量Y的均值μY和标准差σY，可以推导出随机变量Z=X+Y的均值μZ和标准差σZ二、独立随机变量的减法ZXY1222()ZXY同样可以推导出随机变量Z=X-Y的均值μZ和标准差σZ三、独立随机变量的乘法积数（Z=X·Y)的均值μZ和标准差σZ()()()()ZXYEZEXYEXEY222222ZXYYXXY四、独立随机变量的除法()()()XZYXEXEYEY22224XYYXZY有一含有n个随机变量的函数Z=f(x1,x2,…,xn)，如果每一个随机变量的变异系数Cx=σx/μx0.1，以及这些随机变量相互独立，且都不起主要控制作用，则有概率论的中心极限定理可知，这个多维函数Z=f(x1,x2,…,xn)能够满意地服从正态分布。当已知其中每一个随机变量的均值μi及标准差σi，则可以运用以上随机变量的代数运算公式，综合成为一个含单一随机变量的函数，即确定这个单一函数的均值μz和标准差σz。综合方法：先综合函数中两个变量x1和x2，确定已合成的变量的均值和标准差，接着把上面已得到的合成变量与下一个变量x3综合起来，求出合成的均值和标准差。依此类推，直到所有的变量都被综合到单一的变量中去，即求出函数的均值和标准差。例4-2今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(μF,σF)=F(80000,1200)N，拉杆直径d(μd,σd)=d(40,0.8)mm，拉杆长l(μl,σl)=l(6000,60)mm，材料的弹性模量E(μE,σE)=E(21×104,3150)Mpa，求在弹性变形范围内拉杆的伸长δ。解：由胡克定理知，的伸长为FlAE24dA其中设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，因此可根据正态随机变量代数运算公式，对已知参数逐一合成。1）求拉杆的截面面积A(μA,σA)222401256mm44Ad2(2)2400.850.24mm44Add因此A(μA,σA)=A(1256,50.24)mm22）令G=Fl求变量G的均值μG和标准差σG78000060004810NmmGFl222222GFllFFl2222228000060600012001200608654000Nmm3）令H=AE,求变量H的均值μH和标准差σH48125621102.6310NHAE222222HAEEAAE2242222612563150(2110)50.2450.24315011.2710N4）计算拉杆伸长δ的均值μδ和标准差σδ7748101.83mm26.310GH222221HGHHGH222221481.12726.30.86540.0848mm26.3即拉杆伸长δ(μδ,σδ)=δ(1.83,0.084)mm因为正态分布有一重要特性，即数据偏离三倍标准差的可能性很小(概率为0.27%)，几乎可以忽略，所以在可靠性设计中一般可假设公差Δ=3σ(σ为标准差)，即330.08480.2544mm故拉杆伸长为1.830.2544mm若随机变量Y的函数比较复杂，计算Y的数学期望E(Y)和方差D(Y)可能很困难，往往不能简单地运用它们的定义，把函数代入积分公式而得出结果。对于一个多维随机变量Y=f(x1,x2,…,xn)，用分布代数的方法，经多次综合求解函数的均值和方差，计算量很大，比较麻烦，这时可将函数展开成泰勒级数，求得近似解。§4.3一次二阶矩法—泰勒级数近似求解法当应力s和强度r均服从正态分布且相互独立时，根据联结方程可方便地求得可靠度系数β，进而求得可靠度R(t)；但当应力s和强度r服从其它分布时，需要知道应力s和强度r或干涉变量Y进行积分。目前许多工程实际中尚缺乏足够的资料来确定应力和强度的分布，且积分的计算也十分繁杂，当应力和强度的分布未知，仅有足够的资料来确定它们的一阶矩和二阶矩（均值和方差）时，可以采用一次二阶矩法来求可靠性指标β§4.3一次二阶矩法—泰勒级数近似求解法一维随机变量函数的近似求解设y=f(x)在x=μ（均值）处展开成一泰勒级数2()()()()()()2!xyfxfxffR2()()[()][()][()()][()]2!xEyEfxEfExfEf1()()()2ffDx()[()]()EyEfxf若D(x)很小2()[()][()()][()][()][()]()DyDfDxfDxfDffDx例4-3已知一杆件r的均值μr=30mm，标准差σr=1.5mm，求断面面积A的均值μA及标准差σA。解：面积A=πr2，则f’(r)=2πr，f”(r)=2π，可得1()()()()2ArrEAffDr222221(2)2130(2)1.52833.08mm2rr2()[()]()rDAfDr22224(2)(230)1.5=79862.77mmrr2()282.6mmADA对于一个多维随机变量y=f(x1,x2,…,xn)，独立随机变量xi(i＝l，2，…n)均值和标准差为μi和σi。多维随机变量函数的近似求解212211()(,,)()2nniiiXyEyfDxx若D(xi)很小12()(,,)nEyf21()()niiiXyDyDxxy的数学期望y的方差因此可靠度系数：ZZ12[]Tn12[]TnXxxx例4-4一次二阶矩方法求可靠度：有一根A3钢的圆形杆件，圆杆直径d的均值为μd=30mm，标准差为σd=3mm，圆杆的屈服极限r的均值μr=290N/mm2，标准差σr=25N/mm2。当杆件承受轴向拉力P=105N（考虑为常量），试求杆件的可靠性指数和可靠度。解：以极限载荷表示的极限方程为2(,)04YfrddrP函数Y的均值和标准差分别为225()(,)302901044104989NYrddrEYfP例4-4解：若假设为正态分布可靠度查表为：R=0.9906122222,,1222222122224225303302904244644rdrdYrdrddrdYYSd可靠性指数为：1049892.3544644YY习题：一杆受拉力作用，若外力的均值μF=2×104N，标准差为σF=2000N，断面面积均值μA=1000mm2，标准差σA=80mm2。求应力s的均值μs和标准差σs。（