电气测量技术23

测量误差及其分析随机误差的处理随机误差的统计特性和概率分布随机误差的数学表达随机误差的统计特性随机误差的概率分布随机误差的数学表达根据误差理论，任何一次测量中，一般都含有系统误差ε和随机误差δ，即ΔA=ε+δ=Ax-A0在一般工程测量中，系统误差ε大于随机误差δ，即εδ，相对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处理和估计系统误差即可。随机误差的数学表达在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽略不计时，即ε≈0，可得ΔA≈δ=Ax-A0即随机误差等于测量值与其真值之差。这种情况下，随机误差显得特别重要，所以在处理和估计误差时，必须且只需考虑随机误差随机误差的数学表达当系统误差和随机误差都不能忽略时，系统误差和随机误差应分别处理和估计，然后按一定的方式合成最后的系统误差和随机误差，以估计测量结果的准确度。随机误差的统计特性就单次测量而言，随机误差无规律，其大小、方向不可预知。但当测量次数足够多时，随机误差的总体服从统计学规律。对某量进行无系统误差等精度（各种测量因素相同）重复测量n次，其测量读数分别为A1，A2，…Ai…An，则测量误差分别为：00022011.......................AAAAAAAAnnii随机误差的统计特性有界性，即随机误差的绝对值不超过一定的界限。单峰性，即绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大。对称性，等值反号的随机误差出现的概率接近相等。抵偿性，当n→∞时，随机误差的代数和为零。0lim1niin随机误差的统计特性①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;（有界性）②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零0lim1niin随机误差的概率分布随机误差的概率分布有很多种。常见：正态分布、均匀分布、t分布、反正弦分布、梯形分布和三角分布等。正态分布随机误差是个随机变量，而这个随机变量是由大量的、相互独立的、微弱的因素所组成。在大多数情况下，随机误差的概率都服从正态分布或接近正态分布。随机误差的概率分布正态分布的随机误差的方差随机误差的标准差随机误差2概率密度函数)(2222)(1)(e随机误差的概率分布正态分布曲线随机误差的概率分布均匀分布随机误差的概率分布T分布随机变量的特征参数测量数据的数学期望随机变量的方差和标准差测量数据数学期望的估计算术平均值原理标准偏差的估计算术平均值的标准差测量结果的置信度测量数据的数学期望对一个被测量在等精度条件下进行多次独立测量，若已消除了系统误差，则所得测量数据是一个随机变量，以A表示，其数学期望M(A)为)(1)(1nnMnii)(1)(1nAnAMnii式中n测量次数Ai第i次的测量结果根据随机误差的抵偿特性，随机误差的数学期望为零测量数据的数学期望对随机误差表达式ΔA≈δ=Ax-A0两边取其数学期望，则)()()(0AMAMM被测量真值的数学期望就是真值本身，即M(A0)=A0)(1)(10nAnAMAnii在等精度重复测量中，当n→∞时，测量数据的数学期望就是被测量的真值。数学期望体现了随机变量分布中心的位置随机变量的方差和标准差服从正态分布的随机变量，其方差定义为①随机误差的抵偿性会使正负误差相互抵消，故不能采用误差直接平均而须采用平方后平均。②方差对绝对值大的误差反映比较灵活，而而可客观地表征测量数据的离散程度。)(1)(1)(12212nnAMAnAniinii方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测量结果的表示中不是很方便，因而经常不用方差而使用标准偏差，简称标准差。随机变量的方差和标准差标准差定义为方差的正的算术平方根)(1)(1)(1221nnAMAnAniinii标准差σ是测量数据离散程度的表征标准差σ值愈小，测量数据愈集中，概率密度曲线愈陡峭。标准差σ值愈大，测量数据愈分散，概率密度曲线愈平坦。在一定的置信概率下，标准差σ值愈小，所对应的误差极限范围愈小，则测量数据的可靠性愈大。测量数据数学期望的估计存在问题：测量数据的数学期望是在测量次数足够（n→∞）的条件下，定义的，而在实际测量中，不可能满足这个条件.解决办法：根据有限的测量数据求出数学期望的估计值或近似值。算术平均值是被测量A数学期望（真值）M（A）的最佳估计，这一原理—算术平均值原理。测量数据数学期望的估计算术平均值原理假设对某被测量A进行n次等精度无系统误差独立测量，测得数据为：Ai(i=1,2,3…n)被测量列（由A1,A2…An组成的数据列）的最佳可信赖值是测量列的算术平均值。前提1:n次等精度(σ1=σ2=…σn=σ)前提2:无系统误差(ε=0)测量数据数学期望的估计算术平均值的数学表达式niiAnA11A充分性：估计值包含了样本（测量列）的全部信息无偏性：估计值围绕被估计参数M（A）摆动，且M()=M(A)AA有效性：估计值摆动幅度比单个测量值Ai小A一致性：随着测量次数n的增加，趋于被测参数的M（A）A测量数据数学期望的估计)...2,1('niAAAiiniiAnAA11''A特殊处理1:在实际应用中，当测量次数比较大，测量数据有效位数比较多时，计算非常烦琐-----可先假定一个准算术平均值，并计算出A求出'A当选择合适时，△A的有效位数减少，计算可以简化测量数据数学期望的估计特殊处理2：当用计算机处理数据时，为减少内存资源，可采用递推算法)(111nnnAAnAAA式中，---n个测量数据的算术平均值1nA式中，---前n-1个测量数据的算术平均值测量数据数学期望的估计标准偏差的估计存在问题：随机误差的定义为测量值与真值之差，而真值是不可能知道的，这样随机误差就变成一个未知数，使得标准偏差的期望无法得到。解决办法：剩余误差代替随机误差而获得方差和标准差的估计值。nin12i2v11niivn1211←贝塞尔公式贝塞尔公式的证明1-利用相关性证明2-参考概率论中的证明测量数据数学期望的估计求和，可得到剩余误差的代数和为零，即)....3,2,1(niAAvii0iv式中，vi---剩余误差，其定义为：表明：n个剩余误差不是独立的，而只有n-1个独立变量。0ivA提示：利用来检验和vi计算是否正确测量数据数学期望的估计212122112112111nnnniniiiAAnnnAnAn方差估计值的实用算法和递推公式分别为：2n--n个测量数据的方差估计值21n--前n-1个测量数据的方差估计值测量数据数学期望的估计算术平均值的标准差)(1)(22AnA根据概率论可知，算术平均值也是一个随机变量，它本身也具有一定的随机性，即含有一定的随机误差。算术平均值是测量值的数学期望的估计值，既然是估计值，就一定存在差值，这一差值就是随即误差。↑↑↑如何评价算术平均值的随机误差（离散度）的大小？和其他随机变量一样，算术平均值也是用其方差或标准差表示。测量数据数学期望的估计niiniiniiAnAnAnA122122122)(1)(1)1()()()()()(222212AAAAn)(1)(1)(2222AnAnnA证明等精度测量nAA)()(于是算术平均值的标准差为测量数据数学期望的估计nAAnA/)()(/)(22成立前提：测量次数趋于无穷大的条件实际应用中，采用算术平均值的方差和标准差的估计值)(2A算术平均值的方差估计值)(A算术平均值的标准差估计值测量数据数学期望的估计结论算术平均值的方差仅为单次测量值方差的1/n。实际测量中，测量次数一般取10-20次。在有限次等精度测量中，用算术平均值估计被测量要比测量列中任何一个测量数据估计更为合理可信。增加测量次数n，可减小测量结果的标准偏差，以提高测量的准确度。减小和提高意义是有限的。算术平均值的离散度比测量数据的离散度要小。测量结果的置信度课堂自学：15分钟前10分钟学生自己看书后5分钟写出两个问题答案置信因子置信度在正态分布中的应用举例。