2 库存控制：从EOQ到ROP

XJTU-IE,2007.9-2008.9,M:[e-mail](徐琛),[e-mail](李慰祖)第二章库存控制：从EOQ到ROP当你的药吃到只剩四片的时候就要再次购买了——佚名选自Hadley和Whitin（1963）2.1引言科学管理（Scientificmanagement）的诞生使得运作管理（OM）这一现代学科的建立成为了可能。科学管理不仅使得管理学成为一个值得研究的学科，还因为它注重数量上的精确，从而使数学第一次成为一种管理工具。泰勒原初的工作公式是后来许多数学模型的先驱，设计这些数学模型是用来帮助工厂设计和控制人员在各个层面上进行决策的。这些模型都成为了商学和工学课程中的标准科目，整个学术研究的各个学科都是围绕着几个运作管理问题领域而纷纷建立起来的，包括库存控制、生产排程、能力计划、需求预测、质量控制和设备维护。这些模型以及促使这些模型建立的运作管理的焦点问题，现在已是商学的标准语言的一部分了。在那些产生数学模型的诸多运作管理学科分支中，对工厂管理来说没有什么比库存控制更为核心的了，对运作管理来说也没有什么比库存控制更能体现美国式方法的了。在这一章中，我们来追溯美国库存控制所使用的数学模型方法的历史。我们这样做的原因有以下这么几个：1.我们所要讨论的库存控制模型是运作管理领域里昀早的成果之一，并且现在仍被广泛的使用和借鉴。同时，它们是制造管理语言中的基本组成部分。2.库存几乎在所有的制造系统的物流工作中扮演着关键性的角色。这些历史上的模型中介绍的概念会在本书第二篇工厂物理学和第十七章库存管理中再次出现。3.这些经典库存理论的结果是其他许多现代制造管理技术的核心，例如物料需求计划（MRP）、精益生产（JIT）以及基于时间的竞争（TBC），它们因此将作为本书第一篇剩余章节的重要基础。（48|49）我们从昀早昀简单的模型——经济订货批量（EOQ）模型开始，逐渐延伸到更为复杂的再订货点（ROP）模型。对于每个模型，我们都给出了一个启发性的例子，一个关于其发展的介绍和关于它所蕴含思想的讨论。2.2经济订货批量模型对工厂管理来说，昀早的运用到数学的是FordW.Harris（1913）对制造批量设置问题的研究。尽管这篇文章本身显然是被错误地引用了很多年（见Erlenkotter1989，1990），但是Harris的经济批量模型已经被广泛地研究，并且这几乎成为每一本介绍性质的生产与运作管理课本的必选素材。12.2.1动因（Motivation）我们从一家叫做MedEquip的小型制造商的情况出发，这家企业生产的是手术室监视器和诊断设备，它的生产方式是通过在标准金属架上组装电子原件来生产各种昀终产品。这些金属架是从一个当地的金属加工厂购买的，当每次需要生产一批架子时都必须布置一次设备（冲压机，加工中心和焊接中心）。由于每次布置工站都会浪费时间，因此如果这个加工厂一次大量采购这些架子，那么就可以更便宜地进行生产（和销售）。然而，因为MedEquip不想花太多宝贵的现金在那些金属架库存上，所以它并不愿意大批地购买。这种矛盾正是Harris在他的文章《每次生产多少零件》里所研究的。他这样写道：与工资、原材料成本和日常管理费用密切相关的资本利润率决定了生产零件的（可获利的）最大批量；加工的准备成本则决定生产的最小批量。管理者可以通过经验来确定经济批量的大小。（Harris1913）Harris考虑的问题是关于一个生产多种产品并且必须承担高昂准备成本的工厂。作为一个例子，他描述了一家生产铜连接器的金属加工厂。每次这家工厂切换生产的连接器类型时，机器都必须重新校准，此外还有各种必须完成的文职工作，并且还可能要浪费一些原材料（例如在调试阶段被用于生产测试件的铜）。Harris把准备好生产一种产品所必需的人工和原材料成本的总和定义为准备成本。（注意如果连接器是外购而不是自制的话，那么这个问题还是类似的，只是准备成本相应变成了订单采购成本。）在MedEuip的例子和Harris的铜连接器案例中，基本的权衡是一样的。大批量生产因需要较少的生产切换而减少了准备成本。而小批量生产通过更加及时的生产来减少库存。经济批量模型是Harris在这两个关注焦点之间找到的一种平衡的系统方法。（49|50）2.2.2模型尽管Harris声称EOQ是从实际经验出发的，但他还是脱离不了他那个重视用精确数学方法进行工厂管理的时代背景。为了得到一个计算批量大小的规则，他对制造系统做了如下假设：11.生产是瞬间完成的。没有能力约束，并且整个批量是被同时生产出来的。2.运输是即时的。在生产和（可以）满足需求之间没有时间延迟。3.需求是确定的。需求的大小和时间都不存在变动性。4.需求在时间上是常量。事实上，它可以用一条直线表示，因此如果年需求是每年365单位的话，那么转化为日需求就是每天1个单位。5.每次生产切换产生一个固定的准备成本。不管批量是多大或者工厂处于什么状态，准备成本是相同的。6.各种产品都可被单独分析。要么是只生产单一产品，要么就是生产的产品之间没有相互影响（例如共用一台设备）。在这些假设下，我们可以使用Harris的符号（为了表达简便做了少许更改）来构建计算昀优生产批量的经济批量模型。所需要用到的符号如下：1读者需要谨记所有的模型都是基于各种简化的假设的。现实世界太过复杂而不能直接分析。好的建模假设就是那些在捕获现实问题的本质时能够使分析变得容易的条件。为了允许读者自己估量他们的合理性，我们将清楚地列示下面我们所讨论模型的假设。2=需求率（单位每年）D=单位生产成本，没有计算准备成本和库存成本（美元每单位）cA=生产（采购）一批产品的固定准备（采购）成本（美元）=持有成本（美元每单位每年）；如果持有成本完全由在库存中被占用的资金的利率决定，那么，i是年利率hich==批量大小（单位），是决策变量Q为了便于模型化，Harris把时间和产品都看成连续量。因为他假设的确定不变的需求，每当库存量达到零时就订购Q个单位，这样平均的库存水平就是Q/2（如图2.1）。相应的，与库存相关的持有成本就是每年hQ/2美元。准备成本每单为A元，或者可以表示为每年AD/Q美元，这是因为我们每年必须下D/Q个订单来满足需求。生产成本是每单位c美元，或者每年cD美元。因而，每年的总（库存、准备和生产）成本可以表示为（50|51）cDQADhQQY++=2)(（2.1）图2.1EOQ模型中的库存与时间关系示例：为了阐明Y（Q）的性质，让我们回到MedEquip的例子。假设它对金属架的需求是稳定并可预测的，每年预计数量为D=1000件。金属架的单位成本是c=250美元，但每个订单都要花费一个固定成本A=500美元，这是为下一班生产之前布置设备而停机所引起的成本。MedEquip公司估计资金的机会成本或者叫做必要收益率（hurdlerate）为每年10%，贮藏一件金属架所需要的仓储空间每年大约需要10美元的费用。因此，每个金属架的年持有成本为h=（0.1）（250）+10=35美元。把这些值代入式（2.1）可生成图2.2中所示的曲线。我们通过图2.2可以对成本函数Y（Q）进行观察而得到以下几个方面的结论：1.持有成本hQ/D的大小随批量Q线性增加，昀终当Q很大时它会成为年总成本的主要组成部分。2.准备成本AD/Q的大小随Q的增大急剧变小，图中显示当批量昀初开始增长时将会显著减少准备成本，但减少速率是随批量的增大而迅速减小的。3.单位成本cD不受批量的影响，因为它的算式里不包含Q。4.年总成本Y（Q）在批量Q取某个特定值时达到昀小值。有趣的是，这个昀小值所对应的Q值恰好使得持有成本和准备成本相等（即，持有成本和准备成本曲线的交点）。（51|52）3Harris在他的文章里写到要找到使Y（Q）昀小的Q值涉及到“高等数学”的知识，并且他在没有进一步推导的情况下简单地给出了答案。他所提到的（微积分）数学在今天看来似乎也并不算多么高等，所以我们在下面的技术性注释里填补了一些他所忽略的细节。如果对这些细节不感兴趣的话可以跳过这部分，跳过本书中的技术性注释不会对本书的连贯性造成任何损失。图2.2EOQ模型中的成本曲线----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------技术性注释求解Y（Q）这样的无约束函数昀小值的标准方法是对Y求Q的导数，并令Y’（Q）=0，解此等式可得出结果Q*。这样可以找到斜率为零的点（即函数曲线处于水平的点）。如果函数是凸函数（我们在下面来验证这一点），零斜率点是唯一的，并对应着Y（Q）的昀小值。对Y（Q）求导数并令其为零得02)(2=−=QADhdQQdY（2.2）这个等式表示的是得到昀小值点的第一个条件，确保这个零斜率点对应着一个昀小值（即不是昀大值点或鞍点）的第二个条件则是检验Y（Q）的二阶导数：43222)(QADdQQYd=（2.3）因二阶导数对任何正Q都大于零（即，Y（Q）是凸函数），接下来求解（2.2）Q*（即式2.4）就能得到Y（Q）的昀小值。----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------使成本函数（2.1）式中Y（Q）昀小的批量是hADQ2*=（2.4）这个平方根公式就是著名的经济订货批量（EOQ），也被称为经济批量（Ecomnomiclotsize）。把这个公式应用到图2.2的例子中，我们就能得到16935)000,1)(500(22*===hADQ这个结果背后的直观意思就是：由于下订单相关的大额固定成本（$500），使得对于MedEquip来说值得大批量（169）订购架子。2.2.3经济订货批量的关键原理上面结果中很明显的含义就是昀优订货批量随着准备成本或需求率的平方根的增加而增加，随着持有成本的平方根的增加而减少。然而，Harris的文章里一个更为基本的认识是他在他的摘要里所说的，即在批量和库存之间存在着一个权衡。增加批量就会增大库存的平均持有量，但是会减少订货的频率。通过用一个准备成本来惩罚频繁的补货，Harris用清晰的经济术语明白地说明了这个权衡。（52|53）上面的这个基本见解是无可争议的。然而，特定的数学结论（即EOQ平方根公式）总是依赖于模型的假设，有一些假设是我们完全可以质疑的（例如，即时生产多大程度上是可以实现的？）。不仅如此，即使是为了计算的目的，EOQ公式的有用性也取决于输入数据的真实性。尽管Harris声称“准备成本是适于被普遍理解的”和“可能在一个大工厂里，每个订单的准备成本会是比一美元多一点，”但是估计准备成本实际上可能是一件困难的事情。正如我们要在第二和第三篇详细讨论的，准备成本在一个制造系统里有很多其他的影响因素（例如能力、变动性和质量），这样就把一个非常复杂的成本简化成了一个简单不变成本。而在采购系统里，这些其他的影响因素中很多就不起作用了，这时准备成本就可以被清楚地转换成采购订单的成本，EOQ模型在这里就很有用了。值得注意的是，我们甚至不需要借助于Harris的平方根公式就能使用这一结论，即批量与库存之间存在着一个权衡。因为每年平均的批数F为DFQ=（2.5）并且总的库存投资为522cQcDIF==（2.6）我们可以简单地画出库存投资I作为补给频率F（批次/年）的函数曲线。我们令D=1000、c=250美元，在图2.3中画出了MedEquip例子的曲线。注意到这个图向我们表明当每年生产或者订购的次数从10次增加到20次时（即，将批量的大小从100改为50）库存减少了一半（从12,500美元到6,250美元）。然而，如果我们每年补给次数从20次增加到30次（即把批量的大小从50减少到33），库存只从6