机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波

1第17章(Mechanicalwave)(6)2机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波,如声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传播称为电磁波,如无线电波、光波、X射线等。本章主要讨论机械波。重点：行波方程。波动—振动状态的传播过程。行波振动状态沿一定方向传播的波。核心：位相。3在弹性媒质中，各质点之间是以弹性力相互联系着的。1.机械波的产生和传播§17-1波动的基本概念产生机械波的条件：波源—产生机械振动；弹性媒质—传播振动状态。当媒质中的一个质点开始振动后,在弹性力的作用下,就会带动邻近质点振动,邻近质点又带动更远质点振动。这样依次带动,就把振动由近及远地传播出去,形成了波动。u4t=00481620············12·················t=T/4·····················t=T/2································t=3T/4·······················t=T····················图17-15应当注意，在波的传播过程中，媒质中的质点并不“随波逐流”,它们在各自的平衡位置附近振动；传播的是波源的振动状态。显然,沿着波的传播方向,振动是依次落后的。P点比o点时间落后：uxtP点比o点位相落后：uxt)2:(T注意(这里：u是波速)pyuxo(波源)x图17-262.波面和波线波线(波射线)—波的传播方向。波面(波阵面)—波动过程中，振动位相相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前。平面波—波面为平面的波动。本章只讨论这种波。球面波—波面为球面的波动。在各向同性媒质中，波线总是与波面垂直。横波—质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。纵波—质点的振动方向和波的传播方向相互平行。波面图17-371.波速u—振动状态(位相)的传播速度，又称相速。波速完全由媒质的性质(弹性和惯性)来确定。如液体、气体中的纵波，波速：Bu容变弹性模量质量密度(惯性)固体中的横波，波速：Gu切变弹性模量纵波，波速：Yu杨氏弹性模量柔绳中的横波，波速：Tu绳中的张力质量线密度§17-2描述波动的物理量82.波的周期T—媒质质元完成一次全振动的时间。波的周期完全由波源(周期)确定。频率=1/T。3.波长—一个周期内波动传播的距离。周期T反映波的时间周期性，而波长反映的是波的空间周期性。显然，周期T也就是波传播一个波长距离所需的时间。Tu(17-1)4.平面简谐波—波面为平面，媒质中各质点都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨论这种波。9§17-3惠更斯原理媒质中波动传播到的各点,都可以看作是发射子波的波源,其后任一时刻,这些子波的包迹就是新的波阵面。这就是惠更斯原理。作用：知道某一时刻的波阵面,用几何作图的方法就能确定下一时刻的波阵面,从而确定波的传播方向。球面波··············tt+t图17-4平面波t+t时刻波面·····ut波传播方向t时刻波面10惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。···a·图17-5用惠更斯原理可以解释波的衍射现象。所谓波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时,其传播方向发生改变,能绕过障碍物的边缘继续前进且强度重新分布的现象。我们用惠更斯原理画出了新的波阵面及波的传播方向。很明显,波已绕过障碍物的边缘而传播了,即发生了衍射现象。若缝的宽度比波长小得多时,衍射现象将更加显著。在图17-5中,11§17-4平面简谐行波的波动方程！一平面余弦行波在均匀无耗媒质中沿x轴正方向传播,波速u，坐标原点的振动方程为y=Acos(t+o)求：波动方程(即坐标为x的P点的振动方程)。注意这里：x表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离；y表示各质点对平衡位置的位移。yxouxP图17-6如图17-6所示，12因为我们研究的是均匀无耗媒质中的平面波，所以P点的振幅与原点的振幅相同，故仍是A。原点o的振动方程为y=Acos(t+o)要找出P点的振动方程，只要找出P点的振幅和位相就行了。如前所述,P点的位相比o点落后x/u,写为等式有P点的位相-o点位相=-x/u即：P点的位相-(t+o)=-x/uyxouxP图17-613P点的位相=[(t-x/u)+o]])(cos[ouxtAy则P点的位相比o点超前x/u，于是：P点的位相-(t+o)=+x/u,这时波动方程应为])(cos[ouxtAy于是P点的振动方程(即波动方程)为yxouxP图17-6u若波沿x轴负方向传播，14总结起来，波动方程的标准形式应为式中：“”号表示波沿x轴正方向传播；“”号表示波沿x轴负方向传播。o是坐标原点的初相。考虑到，=2/T，=uT,波动方程还可写为])oxTtAy(2cos[(17-2b)otAycos()2x(17-2c)tAy(cos[])oux(17-2a)151.当x=xo(确定值)时，位移y只是时间t的余弦函数:])(cos[oouxtAy这是xo处质点的振动方程。2.当t=to(确定值)时，位移y只是时间x的余弦函数:])(cos[oouxtAy此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况,相应的y-x的曲线就叫做波形曲线，如图17-7所示。tAy(cos[])oux讨论：16])(cos[ouxtAytA(cos[tx+utu)+o]上式表明，t时刻x点的振动状态，经时间t后传播到了x+ut处。即经时间t波沿x轴正方向传播了距离ut,如图17-8所示。3.当x,t都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波。yxou图17-717])oxTtAy(2cos[otAycos()2xtAy(cos[])oux图17-8t时刻yxouutt+t时刻18求：(1)此波的传播方向，波的振幅、周期、频率、波长和波速，以及坐标原点的振动初相；(2)x=2m处质点的振动方程，及t=1s时该质点的速度和加速度。(3)x1=1m和x2=2m两点的相差。解(1)比较法。]2)42(2cos[50xt.yTtAy(2cos[])ox波沿x轴正方向传播；A=0.5m,T=2s,=1/2Hz,=4m,u=/T=2m/s,原点的振动初相o=/2。例题17-1已知波动方程：)(SI),2121(cos50xt.y19(2)将x=2m代入波动方程就得该处质点的振动方程：)m2cos(50t.yt=1s时该质点的速度和加速度为)2sin(50t.dtdy)2cos(502t.dtdat=1-0.5(m/s)t=10(3)x1=1m和x2=2m两点的相差：)(212xx2)12(42)2121(cos50xt.y20例题17-2一波动以u=20cm/s沿x轴负方向传播，A点的振动方程为yA=0.4cos4t(cm),求波动方程：(1)以A为坐标原点；(2)以B为坐标原点。解(1)以A为坐标原点。tAy(cos[])oux=0.4cos4(t20x)cmx5cmABu图17-9x5cmABu图17-9ayo1.标准函数法：21已知A点的振动方程为yA=0.4cos4t(cm)P(x)点比已知点A时间超前：uxt图17-9bx5cmABuyoPxu=20cm/s20x波动方程：y=0.4cos4(t=0.4cos4(t20x)cmP(x)点比已知点A超前用“+”；落后用“”。2.t(tt)法(超前、落后法)+t)22(2)以B为坐标原点。y=0.4cos[4(t20x)+o]cm如何找出坐标原点的初相o？x5cmABu图17-9cyo1.标准函数法：yA=0.4cos4tu=20抓住已知点A(的位相)：由此得o=波动方程为y=0.4cos[4(t20x)+]cm,to])205(4[4ttAy(cos[])oux23已知A点的振动方程为yA=0.4cos4t(cm)P(x)点比已知点A时间超前：uxt5205xx5cmABu图17-9dyopxu=20cm/sy=0.4cos4(t)波动方程：2.t(tt)法(超前、落后法)即波动方程为y=0.4cos[4(t20x)+]cm)205x=0.4cos4(t+t24例题17-3一波动以速度u沿x轴正方向传播，p点的振动方程为yp=Acos(t+),求:(1)坐标原点o的振动方程；(2)波动方程。xypluo图17-10解(1)原点o比p点超前l/u,即o点位相-(t+)=l/uo点位相=t++l/u坐标原点o的振动方程为:y=Acos(t++l/u)(2)波动方程:,uxtAyo])(cos[o=(+l/u)])(cos[ulxtAytAy(cos[])oux25图17-10axypluoxMM(x)点比已知点p时间落后：ulxt已知p点的振动方程为yp=Acos(t+)波动方程:ulxtAy(cos[])令x=0得坐标原点o的振动方程为:tAycos()ul用t(tt)法先求波动方程:另解：26例题17-4一平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅A=10cm,角频率=7rad/s,当t=1s时，x=10cm处的a点的振动状态为ya=0,a0，而x=20cm处的b点的振动状态为yb=5cm,b0。设波长10cm,求该波的波动方程。cmuxtyo])(7cos[10当t=1时,对a点有：])101(7[ou2对b点有：])201(7[ou3解得：u=84cm/s,o=-17/3=/3波动方程为cmxty]3)84(7cos[10解把已知填入波动方程：tAy(cos[])oux27例题17-5波速为u=0.08m/s的一平面简谐波在t=0时的波形如图17-11所示，图中p点此时正向y轴正方向运动，求该波的波动方程。解由p点此时正向y轴正方向运动，可判定此波沿x轴正方向传播。=2=0.4。波动方程可写为t..y(40cos[120]m2由图可知,=0.4,又已知u=0.08，所以频率=u/=0.2,)080.xu图17-11y(m)x(m)op0.20.12tAy(cos[])oux28例题17-6沿x轴负方向传播的一平面简谐波在t=2s时的波形如图17-12所示，设波速u=0.5m/s，求：(1)图中p点的振动方程；(2)该波的波动方程。解(1)由图可知，A=0.5,=2，u=0.5,所以T=4，=/2。故p点的振动方程为t.y2cos(50)m2(2)该波的波动方程:t.y(2cos[50]m2)50.x图17-12py(m)x(m)o1-0.5utAy(cos[])oux29§17-5平面波的动力学方程]cos[o)uxt(Ay]cos[222o)uxt(Aty]cos[2222o)uxt(Auxy22222xyuty(17-13)由此得这就是平面波的动力学方程,它是一个微分方程。30§17-6波的能量和能流一.波的能量密度波动过程也是能量的传播过程。我们以横截面积为S的均匀细长棒中的平面余弦纵波为例来研究波的能量。在媒质中取一质元dm=dV(为媒质的密度)，该质元长dx、伸长量dy。当波传播到这个质元时,其振动动能和势能分别为)uxt(Aycos,dmdWk221221)dy(kdWpdxdydm=dVu图1