机械控制工程2章-2

§2-4系统的传递函数一、传递函数的定义当初始状态为零时，线性定常系统输出量与输入量的拉氏变换之比，称为系统传递函数。设有线性定常系统，若输入xi(t)，输出xo(t)，系统的微分方程为)()()()(01)1(1)(txatxatxatxaoononnon)()()()(01)1(1)(txbtxbtxbtxbiimimmim)()()()(01110111txbpbpbpbtxapapapaimmmmonnnn即式中ai、bj(i=1,2,…n;j=1,2,…m)为实数)()]([)()]([sXtxLsXtxLooii令：)0(00)()1(21)(nnnnnxxsxssXstxL有：初始状态为零)(sXsn一、传递函数的定义若系统在外界作用前静止，即输入输出的初始条件都为零，、、、及、、、)0()0()0()0()0()0()1()1(nooomiiixxxxxx)()()()()()(sXstxLsXstxLonnoimmi，则：01110111..........)()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio框图表示系统的变换关系：G(s)Xi(s)Xo(s)对微分方程作拉氏变换，得：)().....()().....(01110111sXbsbsbsbsXasasasaimmmmonnnn系统传递函数为：二、关于传递函数的几点说明1.传递函数是经拉式变换导出，拉式变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。传递函数的分母、分子分别反映了系统本身的固有特性和系统与外界的联系。)()()()(tftkytyctymkcsmssFsYsG21)()()(my(t)f(t)kc)()()()()(tkxtxctkytyctymkcsmskcssXsYsG2)()()(my(t)x(t)kc2.传递函数虽然是输入输出拉式变换之比，但与具体的输入输出无关，而完全取决于系统的内部结构参数。3.传递函数只表明一个特定的输入量、输出量的关系。同一系统以不同的变量作输出量，以给定的值或不同位置的干扰作输入量，传递函数将各不相同。严格来讲输入输出量不同，系统就不同，传递函数也不同。二、关于传递函数的几点说明4.传递函数是在零初始条件下建立的，因此只是系统的零状态模型，而不能反映非零输入响应的动态特征。这是传递函数作为系统动态数学模型的局限性。设定零初始条件，即系统在t=0-时处于平衡或静止状态，各变量对平衡点的增量为零。5.当输入给定时，系统输出完全取决于传递函数。)()(sXsGsXio)()()()(11sXsGLsXLtxioo此输出与系统的输入作用前的初始状态无关，因为已定初始状态为零。6.传递函数的分母s的阶数n必不小于分子中s的阶数m，即n≥m；因为实际系统或元件总是具有惯性。7.传递函数可以是无量纲，也可是有量纲；量纲由输入、输出物理量决定8.物理性质不同的系统可以具有相同类型的传递函数。uoiRCuiL11)()()(2RCsLCssUsUsGiokcsmssFsYsG21)()()(my(t)f(t)kc传递函数求取步骤1.写出系统的线性或线性化微分方程。2.对微分方程进行拉氏变换并令其全部初始条件为零。3.求输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，即为系统传递函数。例1：图示机械系统，输入为xi，输出为xo，求系统传递函数。xixoAk2c2c1k1解：以整体为研究对象难于分析；以节点A、B为研究对象，并增设中间变量x，节点处没有质量，所以惯性力为零，考虑节点处受力平衡，得：xBxxcxxcxxkAooioi211)(:xkxxcBo22:)())(()())((2222112211sXscksckscksXscksckoiscksckscksckscksXsXsGio2222112211))(())(()()()(作拉氏变换，联立消去X(s)，得：例2：如图所示电路。输入ui，输出uo，求系统传递函数。UiC2R2UoR1C1i1i2i解1：增设中间变量i1，i2，i，有2112111212221)(1iCRdtiRdCiiiiidtCiRuuiRuooi拉式变换，并消去i1，i2，i)1()1)(1()1)(1()()()(1122211122SCRSCRSCRSCRSCRsUsUsGio解2：用复阻抗求解Z1Z2212)()(ZZZsUsUsGio222111111111//sCRZsCRRsCRZ代入求解G(s)，如式(1)三、传递函数的特征方程、零点和极点)()()()(11010101110111sAsBpszskaasaasbbsbbsabasasasabsbsbsbsGniimjjnnnmmmnmnnnnmmmm式中：B(s)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)称为传函的零点；A(s)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)称为传函的极点；)(limsGips传递函数的分母A(s)称为特征多项式；A(s)=0称为特征方程;而极点pj(j=1,2,…,n)称为特征根。Notes:1.零点和极点的数值完全取决于系统结构和参数。零点和极点可为实数或复数。若为复数，必须共轭成对出现。这是因为结构参数为正实数的缘故。2.把传递函数的零点和极点表示在复平面上的图形称为传递函数零极点分布图。四、系统的开环、闭环传递函数xi(t)xo(t)反馈环节执行环节-H(s)Xi(s)Xo(s)G(s)E(s)B(s)-1.前向通道传递函数G(s)是输出Xo(s)与偏差E(s)之比，即)()(sEsXsGo2.反馈回路传递函数H(s)sXsBsHo3.开环传递函数GK(s)sHsGsEsBsGKNotes:1)GK(s)可理解为：系统的封闭回路在相加点处断开后，以E(s)为输入，经G(s)H(s)而产生输出B(s)。也可认为是一个无反馈的开环系统的传递函数。B(s)Xi(s)G(s)E(s)B(s)H(s)Xo(s)-2)因为B(s)和E(s)在相加点处的量纲相同，所以GK(s)无量纲。H(s)量纲是G(s)量纲的倒数。四、系统的开环、闭环传递函数H(s)Xi(s)Xo(s)G(s)E(s)B(s)-4.闭环传递函数GB(s)是输出Xo(s)与输入Xi(s)之比，即)()(sXsXsGioB而Xo(s)=G(s)E(s)E(s)=Xi(s)-B(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s)Xo(s)=G(s)[Xi(s)-H(s)Xo(s)]()()()1()()oBiXsGsGsXsGsHsNotes:1)Xi(s)Xo(s)的量纲可相同，也可不同。2)若H(s)=1，系统称为单位反馈系统。3)若相加点B(s)处为负号，E(s)=Xi(s)-B(s)，则GB=G/(1+GH)若相加点B(s)处为正号，E(s)=Xi(s)+B(s)，则GB=G/(1-GH)相加点B(s)处的符号由物理现象及H(s)本身符号决定。4)反馈是正/负反馈与反馈信号在相加点取正/负号是两回事。正反馈－－指反馈信号加强输入信号，使偏差增大的反馈；负反馈－－指反馈信号削弱输入信号，使偏差减小的反馈。5)开、闭环传递函数各有零点与极点。例：595103sssssGKH(s)G(s)+-G(s)+-H=1151051011223ssssssssGHGGHGsGKKB5.02321013,21zjpp零点：极点：分别令分子、分母为零，得到1个零点，3个极点：设有一个单位负反馈系统，其开环传递函数开环传递函数：GK(s)=G(s)H(s)则，闭环传递函数：求系统零、极点。五、干扰作用下的传递函数Xi(s)G1(s)E(s)B(s)H(s)-C(s)+G2(s)++N(s)Xo(s)1、设输入为Xi(s)，视干扰N(s)=0，输出为Xo1(s)。N(s)=0Xo1(s))()()(1)()()()()(212101sHsGsGsGsGsXsXsGii)()()(01sXsGsXii2、设输入为N(s)，视干扰Xi(s)=0，输出为Xo2(s)。N(s)C(s)H(s)B(s)Xo2(s)+G2(s)+G1(s)-Xi(s)=0+E(s)E(s)=Xi(s)-B(s)=-B(s)sGsBsCsG11'则sHsGsGsGsHsGsGsGsGN21221211五、干扰作用下的传递函数3、同时考察Xi(s)和N(s)的作用，系统总输出满足叠加定理。sNsXsGsHsGsGsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsNsGsXsGsXsXsXiiNiiooo1212212212121111Notes:1)若实际系统满足∣G1G2H∣1，且∣G1H∣1，则为极小值。式中sNsNHsNHsNHsXo12122122G1GGGGG1G可见闭环系统优点之一是能使干扰引起的输出极小，即使干扰引起的误差极小。2)若系统无反馈，即H(s)=0，系统为开环系统。此时，干扰N(s)引起的输出X02(s)=G2(s)N(s)无法消除，全部形成误差。Xi(s)G1(s)Xo(s)N(s)+G2(s)