圆的基本性质

第2课圆的基本性质【本节知识概况】1．圆的有关概念圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径弦连结圆上任意两点的________叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧线段2.确定圆的条件确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆三角形的外心三角形三边____________的交点，即为三角形外接圆的圆心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线3、圆的半径与点到圆心的距离如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外⇔________点在圆上⇔________点在圆内⇔________drd＝rdr4、轴对称性、垂径定理及其推论轴对称性圆具有轴对称性，____________是它的对称轴。垂径定理垂直于弦的直径_________，并且平分弦所对的弧。推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分____________。平分弧的直径________弧所对的弦直径所在的直线平分这条弦弦所对的弧垂直平分5、中心对称、圆心角与弧弦和弦心距的关系圆的旋转不变性把圆绕圆心转动_________角度所得的像和原图形重合．圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。圆心角、弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。任意一个6、圆周角的定义、定理及推论，圆内接四边形的性质圆周角定义顶点在________，并且两边都和圆________的角叫做圆周角。圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆周角定理推论半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________；相等的圆周角所对的弧也________。圆内接四边形的性质圆内接四边形对角________。圆上相交直角直径相等相等互补7、旋转的相关概念1．旋转如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度，这样的图形变换称为____________，这个定点称为____________。2．性质(1)旋转不改变图形的____________(即旋转前后的两个图形全等)。(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此________(都是旋转角)。(3)对应点到旋转中心的距离________。3．旋转变换三要素____________、____________、___________。旋转变换旋转中心形状和大小相等相等旋转中心旋转方向旋转角度1．(2014·扬州)如图所示，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝____°502、(2014·宜宾)已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．5C3、（2014·兰州）如图26－4，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连结BC，BD，下列结论中不一定正确的是()A．AE＝BEB.AD︵＝BD︵C．OE＝DED．∠DBC＝90°C4、(2014·东营)如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，AC︵＝CD︵＝BD︵，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为________．8cm5、(2014·温州)如图26－7，已知点A，B，C在⊙O上，ACB︵为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是()A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B＋∠CA6、(2014·台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()B例1(2013·邵阳)如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3m，弓形的高EF＝1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB︵所在圆O的半径r.思路：结合垂径定理，利用勾股定理来解．垂径定理及其推论的应用解：∵弓形的跨度AB＝3m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32m.∵AB︵所在圆O的半径为r，EF＝1m，∴AO＝r，OF＝r－1.在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2，即r2＝（32）2＋(r－1)2，解得r＝138(m)．点评：利用垂径定理进行计算或证明时，作出弦心距是一条常规辅助线，而相关的计算往往抓住半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形来解．垂径定理及其推论的应用1、(2014·台州)如图所示是一个古代车轮的碎片，为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这个外圆半径为________cm.502、(2014·北京)如图所示，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为()A．22B．4C．42D．8C例2(2014·黄石)如图所示，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB︵的中点．(1)求证：AB平分∠OAC；(2)延长OA至P使得OA＝AP，连结PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．思路：(1)可证四边形AOBC是菱形；(2)可证△OCP是含30°角的直角三角形．圆心角、弧、弦、弦心距的关系解：(1)证明：连结OC，∵∠AOB＝120°，AC︵＝BC︵，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝OC＝OB，∴△AOC与△BOC都是正三角形，∴OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC.(2)∵OA＝AC，OA＝AP，∴AP＝AC＝OA，∴△OCP是直角三角形，∠ACP＝∠P.∵∠ACP＋∠P＝∠OAC＝60°，∴∠P＝30°，∴PC＝3OC＝3.点评：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四个量中，要证其中的一组量相等可通过其他三组量中的一组进行转化．圆心角、弧、弦、弦心距的关系1．(2014·滨江模拟)下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②平分弦的直径垂直于这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3B2、(2014·湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．解：(1)证明：作OE⊥AB.∵AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连结OC，OA，则OE＝6，∴CE＝OC2－OE2＝27，AE＝OA2－OE2＝8，∴AC＝AE－CE＝8－27.思路：(1)只需求得CD︵的度数即可；(2)可先求OE的长，再求DE的长．例3(2014·无锡)如图26－15，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．圆周角相关性质的应用解：(1)∵∠B＝70°，∴AC︵＝140°.∵AB是直径，∴∠C＝90°，即AC⊥BC.∵OD∥BC，∴OD⊥AC.∴AD︵＝CD︵＝70°，∴∠CAD＝35°.(2)在Rt△ACB中，BC＝AB2－AC2＝7.∵OA＝OB，AE＝EC，∴OE＝BC2＝72，∴DE＝2－72点评：在圆中，若有90°的圆周角，则往往添加该圆周角所对的弦(即直径)；若有直径，则往往添加该直径所对的圆周角．圆周角相关性质的应用1、(2011·杭州)如图所示，点A，B，C，D都在⊙O上，CD︵的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝_____.48°2．(2014·西湖模拟)如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝40°，则∠A的度数为()A．40°B．50°C．80°D．100°B