圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C：13422yx若直线mkxyl：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。解：设1122(,),(,)AxyBxy，由223412ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0mkkm，22340km212122284(3),3434mkmxxxxkk22221212121223(4)()()()34mkyykxmkxmkxxmkxxmk以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D且1ADBDkk，1212122yyxx，1212122()40yyxxxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，整理得：2271640mmkk，解得：1222,7kmkm，且满足22340km当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lykx，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点))(,)((2222022220babaybabax。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件（如BPAPkk定值，BPAPkk定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。此模型解题步骤：Step1：设AB直线mkxy，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；Step2：由AP与BP关系（如1BPAPkk），得一次函数)()(kfmmfk或者；Step3：将)()(kfmmfk或者代入mkxy，得定定yxxky)(。◆类型题训练练习1：过抛物线M:pxy22上一点P（1,2）作倾斜角互补的直线PA与PB，交M于A、B两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习2：过抛物线M:xy42的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。练习3：过1222yx上的点作动弦AB、AC且3ACABkk，证明BC恒过定点。练习:4：设A、B是轨迹C：22(0)ypxP上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且4时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。练习5：已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.练习6：已知点1,0,1,0,BCP是平面上一动点，且满足||||PCBCPBCB（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点(,2)Am在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且ADAE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.【解】（1）设.4,1)1(||||),(222xyxyxCBPBBCPCyxP化简得得代入（5分）).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将AmxymA,044,422tmtyxytmyxDE得代入的方程为设直线）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211tmtyymyyyxEyxD4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121yyyyxxxxyyxxAEAD5)(2)44(44212122212221yyyyyyyy5)(242)(16)(212121221221yyyyyyyyyymmttmttmt845605)4(2)4(4)4(2)4(16)4(2222化简得)1(23)1(43484962222mtmtmmtt）即（即0*,1252）式检验均满足代入（或mtmt1)2(5)2(ymxymxDE或的方程为直线）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(DE）练习7：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.xyC4:2，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（I）证明:OMOP为定值;（II）若△POM的面积为25，求向量OM与OP的夹角；（Ⅲ）证明直线PQ恒过一个定点.解：（I）设点PyyPyyM),,4(),,4(222121、M、A三点共线，,4414,222121211yyyyyykkDMAM即4,142121211yyyyyy即.544212221yyyyOPOM(II)设∠POM=α，则.5cos||||OPOM.5sin||||,25OPOMSROM由此可得tanα=1.又.45,45),,0(的夹角为与故向量OPOM(Ⅲ)设点MyyQ),,4(323、B、Q三点共线，,QMBQkk3133222233131323133131311,,41444(1)()4,40.11yyyyyyyyyyyyyyyyyy即即即分,0444,4,432322121yyyyyyyy即即.(*)04)(43232yyyy第22题,44432232232yyyyyykPQ)4(422322yxyyyyPQ的方程是直线即.4)(,4))((323222322xyyyyyyxyyyy即由（*）式，,4)(43232yyyy代入上式，得).1(4))(4(32xyyy由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆222ryx上一点),(00yxP处的切线方程为200ryyyx”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222yxPbabyax上一点处的切线方程为12020byyaxx”，过椭圆C：1422yx的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积。【解】（1）设M14),,(),(),)(,334(11221,1yyxxMAyxByxARtt的方程为则∵点M在MA上∴13311tyx①同理可得13322tyx②由①②知AB的方程为)1(3,133tyxtyx即易知右焦点F（0,3）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（0,3）（2）把AB的方程0167,14)1(322yyyxyx化简得代入∴7167283631||AB又M到AB的距离33231|334|d∴△ABM的面积21316||21dABS◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc到直线l:20xy的距离为322.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PAPB,其中,AB为切点.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)当点00,Pxy为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(Ⅲ)当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.【答案】(Ⅰ)依题意,设抛物线C的方程为24xcy,由023222c结合0c,解得1c.所以抛物线C的方程为24xy.(Ⅱ)抛物线C的方程为24xy,即214yx,求导得12yx设11,Axy,22,Bxy(其中221212,44xxyy),则切线,PAPB的斜率分别为112x,212x,所以切线PA：1112xyyxx,即211122xxyxy,即11220xxyy同理可得切线PB的方程为22220xxyy因为切线,PAPB均过点00,Pxy,所以1001220xxyy,2002220xxyy所以1122,,,xyxy为方程00220xxyy的两组解.所以直线AB的方程为00220xxyy.(Ⅲ)由抛物线定义可知11AFy,21BFy,所以121212111AFBFyyyyyy联立方程0022204xxyyxy,消去x整理得22200020yyxyy由一元二次方程根与系数的关系可得212002yyxy,2120yyy所以221212000121AFBFyyyyyxy又点00,Pxy在直线l上,所以002xy,所以22220000001921225222yxyyyy所以当012y时,AFBF取得最小值,且最小值为92.练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线2212:4,:20CxyCxpyp,点00,Mxy在抛物线2C上,过M作1C的切线,切点为,AB(M为原点O时,,AB重合于O)012x,切线.MA的斜率为12-.(I)求p的值;(II)当M在2C上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.,,.ABOO重合于时中点为【答案】模型三：相交弦过定点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。例题：如图，已知直线L：)0(1:12222babyaxCmyx过椭圆的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线2:Gxa上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。法一：解：)0,(),0,1(2akF先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N,且)0,21(2aN。猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点)0,21(2aN证明：设),(),,(),,(),,(12222211yaDyaEyxByxA，当m变化时首先AE过定点N2222222222222222221222121212221212122221()2(1)0....804(1)0(1),11221()2011()221(()212(2ANENANENxmy