2014高考全国2卷数学文科试题及答案详解解析

12014年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合{2,0,2}A，2{|20}Bxxx，则AB=(A)（B）2（C）0(D)2考点：交集及其运算．分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答：解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．（2）131ii()（A）12i（B）12i（C）1-2i(D)1-2i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．（3）函数fx在0xx处导数存在，若00:()0;:pfxqxx是fx的极值点，则()（A）p是q的充分必要条件（B）p是q的充分条件，但不是q的必要条件（C）p是q的必要条件，但不是q的充分条件(D)p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．2（4）设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=()（A）1（B）2（C）3(D)5考点：平面向量数量积的运算．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得，+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4••=10﹣6=4，即•=1，故选：A点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．（5）等差数列na的公差为2，若2a，4a，8a成等比数列，则na的前n项nS=()（A）1nn（B）1nn（C）12nn(D)12nn考点：等差数列的性质．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．解答：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()（A）1727（B）59（C）1027(D)13考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．3正三棱柱111ABCABC的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥11DCBA的体积为()（A）3（B）32（C）1（D）32考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t均为2，则输出的S=()（A）4（B）5（C）6（D）7考点：程序框图．菁优网版权所有分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．（9）设x，y满足的约束条件1010330xyxyxy，则2zxy的最大值为()（A）8（B）7（C）2（D）1考点：简单线性规划．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法4（10）设F为抛物线2:3Cyx的焦点，过F且倾斜角为°30的直线交于C于,AB两点，则AB=()（A）303（B）6（C）12（D）73考点：抛物线的简单性质．分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．解答：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故答案为：12．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．（11）若函数()lnfxkxx在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是()（A）,2（B）,1（C）2,（D）1,考点：函数单调性的性质．分析：由题意可得，当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，故k﹣1＞0，由此求得k的范围．解答：函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，∴k﹣1≥0，∴k≥1，故选：D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．5（12）设点0(,1)Mx，若在圆22:1Oxy上存在点N，使得°45OMN,则0x的取值范围是()（A）1,1（B）1122，（C）2,2（D）2222，考点：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），∴若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆上的点到MN的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.考点：相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有分析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．解答：有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，6故答案为：．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．（14）函数()sin()2sincosfxxx的最大值为_________.考点：三角函数的最值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．（15）已知函数()fx的图像关于直线2x对称，(0)3f，则(1)f_______.考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．解答：解：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，故答案为：3点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．（16）数列{}na满足121,21nnaaa，则1a=_________.考点：数列递推式．分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．解答：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；7令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3,CD=DA=2.（Ⅰ）求C和BD;（Ⅱ）求四边形ABCD的面积。解：（Ⅰ）由题设及余弦定理得2222cosBDBCCDBCCDC1312cosC①2222cosBDABDAABDAA54cosC②由①，②得1cos2C，故60,7CBD（Ⅱ）四边形ABCD的面积11sinsin22SABDAABCCDC11(1232)sin6022238（18）（本小题满分12分）如图，四凌锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，E为PD的中点。（Ⅰ）证明：//PB平面AEC;（Ⅱ）设置1AP，3AD，三棱锥PABD的体积34V，求A到平面PBD的距离。解：（Ⅰ）设BD与AC的交点为O，连接EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又因为E为PD的中点，所以EO//PBEO平面AEC，PB平面AEC，所以//PB平面AEC（Ⅱ）113366ABDVSPAPAABADAB由题设知34V，可得32AB做AHPB交PB于H由题设知BCPAB平面，所以BCAH，故AHPBC平面，又31313PAABAHPB所以A到平面PBC的距离为313139（19）（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。根据这50位市民甲部门乙部门35944044897512245667778997665332110601123468898877766555554443332100700113449