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2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1.已知集合1,2,3A,2,4,5B,则集合AB中元素的个数为▲.【答案】5【解析】因为AB1,2,3,4,5,所以该集合元素的个数为5.2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为▲.【答案】6【解析】这6个数的和为36,故平均数为6.3.设复数z满足234zi(i是虚数单位),则z的模为▲.【答案】5【解析】设,zxyixyR,则2222zxyxyi,结合条件得223,24xyxy,解得224,1.xy所以225zxy.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为▲.【答案】7【解析】“追踪”循环体(就在图形的一旁标注,这样不容易出错):于是,输出7S.5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为▲.【答案】56【解析】从4个球中一次随机地取2个球,有6种取法:(白,红),(白,黄1),(白,黄2),(红,黄1),(红,黄2),(黄1,黄2),其中,两个球不同颜色有5种取法,故所求概率为56.(或先求颜色相同的概率为16,再用对立事件求)6.已知向量(2,1)a,(1,2)b,若(9,8)mna+b(,)mnR,则mn的值为▲.【答案】3【解析】由(9,8)mna+b,得29,28,mnmn解得2,5.mn故3mn.7.不等式224xx的解集为▲.【答案】(1,2)1S1IWhile8I2SS3IIEndWhilePrintS(第4题)35循环体2SS3II47710【解析】原不等式即2222xx,得22xx,即220xx,得解集为x-1x2.8.已知tan2,1tan()7,则tan的值为▲.【答案】3【解析】tan()tantantan[()]1tan()tan1273217.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为▲.【答案】7【解析】设新的圆锥与圆柱的底面半径都为R,原圆锥的体积1111100(25)4333VSh圆锥,22(4)832VSh圆柱,由题意得221196()4()833RR,解得27R,即7R.10.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线210()mxymmR相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为▲.【答案】22(1)2xy【解析】直线210()mxymmR,即(2)(1)0mxy,该直线过定点(2,1),以点(1,0)为圆心且与直线210()mxymmR相切的所有圆中,最大半径为这两点间的距离2,故所求圆的标准方程为22(1)2xy.11.设数列{}na满足11a,且11()nnaannN,则数列1{}na前10项的和为▲.【答案】2011【解析】11a,212aa,323aa,…,1nnaan,将上面各式叠加得(1)122nnnan(1n也满足),所以12112()(1)1nannnn.所以数列1{}na的前10项和10111112(1)2231011S1202(1)1111.12.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线221xy右支上的一个动点.若点P到直线10xy的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为▲.【答案】22【解析】双曲线的一条渐近线0xy与已知直线10xy平行,由题意知,所求c的最大值,即这两条直线间的距离22d.13.已知函数()lnfxx,20,01()42,1xgxxx,,则方程()()1fxgx实根的个数为▲.【答案】4;【解析】由()()1fxgx,得()()1fxgx,即()()1gxfx或()()1gxfx,问题转化为求函数()ygx与()1yfx的图像交点个数.先画出()ygx的图像和()1yfx的图像(图1),由图知()ygx与()1yfx的图像有2个交点,()ygx与()1yfx的图像也有2个交点(图2),共4个交点,即方程()()1fxgx实根的个数为4.14.设向量(cos,sincos)666kkkka(0,1,212)k,,则1110()kkkaa的值为▲.【答案】93;解析:0(1,1)a,1313(,)222a,2113(,)222a,3(0,1)a,4113(,)222a,5313(,)222a,6(1,1)a,7313(,)222a,8113(,)222a,9(0,1)a,10113(,)222a,11313(,)222a,12(1,1)a.于是01132aa,123314aa,233122aa,343122aa,453314aa,56132aa,67132aa,783314aa,893122aa,9103122aa,10113314aa,1112132aa,所以1110()93kkkaa.15.在ABCV中,已知2,3,60ABACAo.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解:(1)在ABCV中,由余弦定理得,2222cos7BCABACABACA,所以7BC.图131xy11O2242312图231xy11O2242312(2)在ABCV中,由正弦定理,得sinsinABBCCA,所以sin21sin7ABACBC.因为AB是最小边,所以C为锐角.所以227cos1sin7CC.所以212743sin22sincos2777CCC.16.如图,在直三棱柱111ABCABC中,已知1,ACBCBCCC.设1AB的中点为D,11BCBCEI.求证:(1)DE∥平面11AACC;(2)11BCAB.解:(1)因为三棱柱的侧面均为平行四边形,对角线互相平分,所以E是1BC的中点.又D为1AB的中点,所以DE为1BAC的中位线,即DE∥AC.又DE平面11AACC,AC平面11AACC,所以DE∥平面11AACC.(2)因为棱柱111ABCABC是直三棱柱,所以1CC平面ABC,,ACBC平面ABC,所以1CCAC,1CCBC.又1BCCC,所以11BBCC为正方形.因为正方形对角线互相垂直平分,所以11BCBC.①因为1CCAC,且BCAC,1CCBCCI,所以AC平面11BBCC.因为1BC面11BBCC,所以1BCAC.②又1BCACCI,所以1BC平面1ABC.因为1AB平面1ABC,所以11BCAB.17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为12,ll,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,,MN为C的两个端点,测得点M到12,ll的距离分别为5千米和40千米,点N到12,ll的距离分别为20千米和2.5千米.以21,ll所在的直线分别为,xy轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数2ayxb(其中,ab为常数)模型.(1)求,ab的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式()ft,并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解:(1)由题意,得点,MN的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入2ayxb,得40,252,5.400abab解得1000,0.ab(第16题)ABCED1A1B1C(第17题)MyxNO2l1llPBA(2)①由(1)知,21000yx(520)x,则点21000(,)Ptt.设在点P处的切线l交,xy轴分别于,AB点,32000yx,则切线l的方程为2310002000()yxttt,由此得3(,0)2tA,23000(0)Bt,.故622224330003410()()()22tftttt(520)t.②设624410()gttt(520)t,则651610()2gttt.令()0gt,解得102t.当(5,102)t时,()0gt,()gt单调递减;当(102,20)t时,()0gt,()gt单调递增.所以当102t时,()gt有极小值,也是最小值,即min()300gt,此时min()153ft.答:当102t时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆222210xyabab的离心率为22,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于,AB两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点,PC,若2PCAB,求直线AB的方程.解:(1)由题意得22ca且23acc,解得2a,1c,则1b,所以椭圆的标准方程为2212xy.(2)①当ABx轴时,2AB,3CP,不合题意;②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为(1)ykx,设11(,)Axy,22(,)Bxy,将(1)ykx代入2212xy,得2222(12)42(1)0kxkxk,则221,2222(1)12kkxk.因为C为AB的中点,所以2222(,)1212kkCkk,22222212121222(1)()()(1)()12kABxxyykxxk.若0k,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;从而0k,故直线PC的方程为22212()1212kkyxkkk,令2x,得22522,(12)kPkk,于是2222(31)1(12)kkPCkk,由2PCAB,得2222(31)1(12)kkkk2242(1)12kk,解得1k.于是直线AB的方程为1yx或1yx.19.已知函数32()(,)fxxaxbabR.(第18题)OxCAByFlP(1)试讨论)(xf的单调性;(2)若acb(实数c是与a无关的常数),当函数)(xf有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是33(,3)1,,22,求c的值.解:(1)2()32fxxax,由()0fx,解得10x,223ax.①当0a时,因为2()30fxx,所以()fx在(,)上单调递增;②当0a时,2(,)(0,)3ax时,()0fx;2(,0)3ax时,()0fx,所以()fx在2(,)3a和(0,)上单调递增,在2(,0)3a上单调递减;③当0a时,2(,0)(,)3ax时,()0fx;2(0,)3ax时,()0fx;所以()fx在(,0)和2(,)3a上单调递增,在2(0,)3a上单调递减.(2)由(1)知,函数()fx的两个极值为(0)fb,324()327afab,则函数)(xf有三个不同零点等价于324(0)()()0327affbab,从而30,4027aab或30,40
本文标题:2015年高考数学江苏卷
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