数学建模2010年A题优秀论文库(国家一等奖)

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。首先从简单的小椭圆柱型储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。采用积分方法，得到无变位时储油罐内储油量与油位高度的计算公式hbhbbhalbbhablabllsV2arcsin2,从而并得到正常的罐容表标定，再考虑纵向偏移时，通过考虑油平面截面与左底面上端点、右底面下端点的位置关系从而分为三个阶段，同样利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，HbHbHbHbabbHbHabbHabV2323arcsin2tan121HbHbHbHbabbHbHababHHV2323arcsin2tan1222322223)arcsin(2arcsin2tan1HHbbabbHabHHbabbbHabHabHVVVV03利用MATLAB软件得到每个阶段油容量与油面高度的图像关系，并与附表1中标定值进行比较，通过图像粗略得到纵向变位时液位较小时罐容表读数偏小，液位较高时读数偏大的结论。最后运用MATLAB编写程序对变位后罐容按油位高度间隔为m01.0的进行标定，结果见表1。针对第二问同时发生纵向偏移和横向偏移的情况，由于横向倾斜不影响体积的计算，只影响油面高度实际值与罐容表测量值之间的关系。因此本文首先考虑纵向偏移时罐容与倾斜角度和油位高度的关系。然后，由于在纵向倾斜角一定的情况下，在考虑横向偏斜对罐油表示数的影响，进而得到罐内储油量、油位高度及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的关系。然后，根据油面高度与横向偏转角度及*h关系),(*hfh得罐内储油量与油位高度及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的一般关系),,(*hfVy。最后运用遍历法得到最佳纵向倾斜角度1.2和横向偏转角度4.4。关键词：截面法积分椭圆柱型遍历法一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。并给出了罐体纵向倾斜变位的示意图和罐体横向偏转变位的截面示意图。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）示意图，分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析本文主要是研究在地基发生变形的情况下对罐荣表的影响，我们主要考虑储油罐里的体积与罐荣表之间的关系。针对问题一：首先，我们研究在罐体无变位时罐内储油量与油位高度的关系，将储油罐模拟成小椭圆柱体,采用截面法建立数学模型对无变位的理论油容量应用定积分进行计算，得出了两端平头的椭圆柱体油罐的罐容与油位高度之间的关系。其次，我们在无变位的基础上考虑罐体在纵向偏转发生倾斜角为4.1变位时对模型所用变量的影响，考虑到罐体内油位高度不同时罐内油体体积模型会发生变化，我们根据油位高度的不同将过程分为三个阶段，并分别建立关于罐体内不同油位高度与油量关系的积分方程模型。最后，根据所得到的函数得到油位高度与油量的关系图像，并通过此它们之间的函数关系得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。针对问题二：当储油罐即有纵向偏移又有横向偏移时，首先我们只考虑只有纵向倾斜的情况下得出罐容与倾斜角度和油位高度的关系。然后，由于在纵向倾斜角一定的情况下，横向偏斜不影响油体积，即油面相对于水平面不发生变化，从而得到罐容有关纵向倾斜角度和实际高度的函数关系。对于罐容的函数表达式，采用将整个油罐分成三个部分求解：左端球冠部分、中间圆柱体部分、右端球冠部分。运用了三重积分求解。而我们所知道的是测量高度，这时就要考虑横向倾斜角度对测量高度值的影响，从而得到实际油面高度、测量油面高度及横向偏移三者之间的关系，从而进一步得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。三、模型假设（1）假设进油和出油过程中油量没有损耗；（2）假设储油罐的横向偏转与纵向倾斜彼此之间不相互影响；（3）假设实际油罐内的油位探针装置，注油管，出油管体积不计；（4）假设实验中测得的高度即为油罐底部沿探针到油面的距离；（5）假设油浮子到达最高处时便不再加油，罐容表示数为0时不在出油；四、符号说明h：储油罐任一位置平行于罐底方向实际油位高度；x：建立空间直角坐标系后X轴方向上的变量；y：建立空间直角坐标系后Y轴方向上的油料长度；z：建立空间直角坐标系后Z轴方向上的变量；a：问题一中截面椭圆的长轴长的一半；b：问题一中截面椭圆的短轴长的一半；iV：问题一纵向变位第i种情况下相应某一高度时的油的体积；0h：问题一中变位后测得的油料高度；H：问题一变位时油料平行于罐底方向的高度；S：问题一变位情况下用任意平行于罐底平面截得的油料面积；五、模型的建立与求解模型一：1、无变位情况首先以一侧罐底中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中下部阴影部分为油料：xYZ图1无变位情况下建立空间直角坐标系yXh从侧面观察得到如下示意图：根据题目中的已知数据，得到椭圆截面的方程式为：12222bzax于是有221bzax由于y轴左右两边的图形相互对称，因此我们只考虑0x的部分，即221bzax则可得到截面阴影部分面积进行微分得：dzbzads2212即有：dzzbbadzbzasbhbbhb2222212不妨令sinbz，由于bhbz,，可得到bbharcsin,2则（5）式积分可化为：sinsin222arcsin2bdbbbasbbh将（6）式化简可得：（1）（5）（4）（3）（2）（6）b-a图2截面椭圆示意图xXZh-baO12122sin2sin21ababshbhbbhabbhabab2arcsin2其中,cossin22sin,arcsin,222221bbh由此可得到无变位时油罐储油量与油位高度之间的关系为：hbhbbhalbbhablabllsV2arcsin2将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标，体积为纵坐标的坐标系中作图，得到如下曲线：（8）（7）（7）图3：无变位时计算结果与实际结果对比图计算得到的结果实际得到的结果2、发生1.4纵向偏移情况以椭圆罐底中心为原点，X轴，Z轴平行于罐底，Y轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角坐标系：由图4可知：距储油罐底面y处油面高度H的函数式为：tan)4.0(tan)4.0(00yhyhyH45.2,4.04.0,0yy从而得到tan)4.0(0yhH45.2,0y由假设（5）可得到2.1,00h；6.0,6.0tan4.0z根据H与y的关系，以及zy,的范围，可分为一下几种情况：（1）045.2H，即得tan05.200h，此时油面与侧面的交点在y轴方向上的坐标为4.0tan0h图4纵向变位情况下建立空间直角坐标系ZXYH油位探针h0O图5第一种情况ZXYH油位探针h0O（9）则此时储油罐里的油量为：dyHsVh4.0tan010)(其中HbHbbHabbHababHs2arcsin2)(，tan)4.0(0yhH代入求的HbHbHbHbabbHbHabbHabV2323arcsin2tan121其中tan4.00hH，6.0,89.0,1.4ba（2）当2.10,45.20HH，得到tan4.02.1tan05.20h两端罐底都接触油面，如图6：则此时储油罐里的油量为：dyHsV45.202)(HbHbbHabbHababHs2arcsin2)(，tan)4.0(0yhH代入求的22122HVHVV其中HbHbHbHbabbHbHababHHV2323arcsin2tan122tan05.2,tan4.0021hHhH，6.0,89.0,1.4ba图6第二种情况ZXYH油位探针h0（10）（11）（12）（13）（3）当2.10H时，即2.1tan4.02.10h，一端罐底已经完全被油浸没，此时油上表面与侧面的交点在y轴方向上的坐标为：tan24.00hb如图7：此时油面上方的体积为：dyHSVhb45.2tan24.00整体油桶的体积为：ablV0其中HbHbHbabHbababHs2arcsin2)(VVV032322223)arcsin(2arcsin2tan1HHbbabbHabHHbabbbHabHabHV其中bH21tan05.22hH1.489.0a6.0b将上述三种情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中，并与实际测量的数据做对比，得到如下关系图（图8）：图7第三种情况ZXYH0油位探针h0（13）00.20.40.60.811.200.511.522.533.544.5纵向变位时储油量与油位关系曲线油位/米储油量/千升第一种情况第二种情况第三种情况实际数据图8变位后储油量与油位高度关系从图8可以看出，计算得到的公式基本符合实际检测数据。通过代入数据，误差保持在3%以内。因此，在标定罐容表时，我们以得到的公式为基础，代入数据计算即得。从0到1.20m每间隔0.01m取一数值代入公式得到如下罐容表的标定值：表1纵向变位后的罐容表标定值油位高度m罐容量kL油位高度m罐容量kL油位高度m罐容量kL00.0016740.410.99270.821.24720.010.0035310.421.03230.831.28860.020.0062640.431.07210.841.33010.030.0099750.441.11230.851.37190.040.0147560.451.15270.861.41390.050.0206910.461.19350.871.4560.060.02785