2014年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年福建，文1，5分】若集合|24Pxx，|3Qxx，则PQ（）（A）|34xx（B）|34xx（C）|23xx（D）|23xx【答案】A【解析】{|34}PQxx＝＜，故选A．（2）【2014年福建，文2，5分】复数32ii等于（）（A）23i（B）23i（C）23i（D）23i【答案】B【解析】232ii3i223()ii＋＝＋＝－＋，故选B．（3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）（A）2（B）（C）2（D）1【答案】A【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212，宽1，∴212S，故选A．（4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【解析】第一次循环1n，判断1221成立，则112n；第二次循环，判断2222不成立，则输出2n，故选B．（5）【2014年福建，文5，5分】命题“0,x，30xx”的否定是（）（A）,0x，30xx（B）,0x，30xx（C）00,x，3000xx（D）00,x，3000xx【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是00,x，3000xx，故选C．（6）【2014年福建，文6，5分】直线l过圆2234xy的圆心，且与直线10xy垂直，则l的方程是（）（A）20xy（B）20xy（C）30xy（D）30xy【答案】D【解析】直线过圆心0,3，与直线10xy垂直，故其斜率1k．所以直线的方程为310yx，即30xy，故选D．（7）【2014年福建，文7，5分】将函数sinyx的图像向左平移2个单位，得到函数yfx的图像，则下列说法正确的是（）（A）yfx是奇函数（B）yfx的周期为（C）yfx的图像关于直线2x对称（D）yfx的图像关于点,02对称【答案】D【解析】sinyx的图象向左平移2个单位，得π()=sin=cos2yfxxx的图象，所以fx是偶函数，A不正确；fx的周期为2，B不正确；fx的图象关于直线xkkZ对称，C不正确；fx的图象2关于点,02kkZ对称，当1k时，点为π(,0)2，故选D．（8）【2014年福建，文8，5分】若函数log0,1ayxaa且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由题中图象可知log31a，所以3a．A选项，133xxy为指数函数，在R上单调递减，故A不正确．B选项，3yx为幂函数，图象正确．C选项，33yxx，其图象和B选项中3yx的图象关于x轴对称，故C不正确．D选项，3logyx，其图象与3logyx的图象关于y轴对称，故D选项不正确，故选B．（9）【2014年福建，文9，5分】要制作一个容积为43m，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）（A）80元（B）120元（C）160元（D）240元【答案】C【解析】设容器的底长x米，宽y米，则4xy．所以4yx，则总造价为：80420211080202080fxxyxyxxxx，0,x．所以4202+80160fxxx，当且仅当4xx，即x＝2时，等号成立，所以最低总造价是160元，故选C．（10）【2014年福建，文10，5分】设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OAOBOCOD等于（）（A）OM（B）2OM（C）3OM（D）4OM【答案】D【解析】因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得2OAOCOM，2OBODOM，所以4OAOBOCODOM，故选D．（11）【2014年福建，文11，5分】已知圆C：221xayb，平面区域：70300xyxyy．若圆心C，且圆C与x轴相切，则22ab的最大值为（）（A）5（B）29（C）37（D）49【答案】C【解析】由题意，画出可行域，圆心C，且圆C与x轴相切，所以1b，所以圆心在直线1y上，求得与直线30xy，70xy的两交点坐标分别为2,1A，6,1B，所以2,6a．所以22211,37aba，所以22ab的最大值为37，故选C．（12）【2014年福建，文12，5分】在平面直角坐标系中，两点111,Pxy，222,Pxy间的“L距离”定义为121212||||||||PPxxyy，则平面内与x轴上两个不同的定点12,FF的“L距离”之和等于定值（大于12||||FF）的点的轨迹可以是（）3（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】不妨设1,0Fa，2,0Fa，其中0a，点,Pxy是其轨迹上的点，P到1F，2F的“L距离”之和等于定值b（大于12||||FF)，所以xayxayb，即2xaxayb．当xa，0y时，上式可化为2byx－=；当axa，0y时，上式可化为2by=a；当xa，0y时，上式可化为2bx+y=；当xa，0y时，上式可化为2bx+y-；当axa，0y时，上式可化为2bya；当xa，0y时，上式可化为2bxy=，故选A．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2014年福建，文13，5分】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．【答案】0.18【解析】由几何概型可知18010001SSS阴影阴影正方形，所以0.18S阴影＝．故答案为0.18．（14）【2014年福建，文14，5分】在ABC中，060A，2AC，3BC，则AB．【答案】1【解析】由余弦定理可知：2222431cos2222bcacAbcc，所以1c，故答案为1．（15）【2014年福建，文15，5分】函数22026ln0xxfxxxx的零点个数是．【答案】2【解析】当0x时，令220fxx，得2x，∴2x．当0x时，26lnfxxx，12+0fxx．所以fx单调递增，当0x时，0fx；当x时，0fx，所以fx在0,上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2．（16）【2014年福建，文16，5分】已知集合,,0,1,2abc，且下列三个关系：①2a；②2b；③0c有且只有一个正确，则10010abc等于．【答案】201【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：（1）当①成立时，则2a，2b，0c，此种情况不成立；（2）当②成立时，则2a，2b，0c，此种情况不成立；（3）当③成立时，则2a，2b，0c，即2a，0b，1c，所以1001010021001201abc．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年福建，文17，12分】在等比数列na中，23a=，581a=．（1）求na；（2）设3lognnba，求数列nb的前n项和nS．解：（1）设na的公比为q，依题意得141381aqaq，解得113aq，因此13nna．4（2）因为3log1nnban，所以数列nb的前n项和21()22nnnbbnnS．（18）【2014年福建，文18，12分】已知函数2cossincosfxxxx．（1）求54f的值；（2）求函数fx的最小正周期及单调递增区间．解：（1）55552cossincos2cossincos24444444f．（2）因22sincos2cossin21cos22sin214fxxxxxxx，故周期T．由222242kxk得388kxkkZ．因此fx的单调递增区间为3,88kkkZ．（19）【2014年福建，文19，12分】如图所示，三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若1ABBDCD，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．解：（1）因AB平面BCD，CD平面BCD，故ABCD．又CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD平面ABD．（2）由AB平面BCD，得ABBD．因1ABBD，故12ABDS．因M是AD中点，故124ABDABMSS．由（1）知，CD平面ABD，故三棱锥CABM的高1hCD，因此三棱锥AMBC的体积1312ABMAMBCCABMShVV．（20）【2014年福建，文20，12分】根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为13054085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为408512616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表．行政区区人口占城市人口比区人均GDP（单位：美元）A25％8000B30％4000C15％6000D10％3000E20％10000（1）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：（1）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为：80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400aaaaaa．因为64004085,12616，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：,,,,,,,,ABACADAE,,,,,,BCBDBE,,,,,CDCEDE共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，5则事件M包含的基本事件是：,,,,,ACAECE共3个，所以所求概率为310PM．（21）【2014年福建，文21，12分】已知曲线上的点到点0,1F的距离比它到直线3y的距离小2．（1）求曲线的方程；（2）曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线3y分别与直线l及y轴交于点,MN．以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B．试探究：当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．解：