2014年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年福建，理1，5分】复数(32i)iz的共轭复数z等于（）（A）23i（B）23i（C）23i（D）23i【答案】C【解析】由复数32ii23iz，得复数z的共轭复数23iz，故选C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．（2）【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）（A）圆柱（B）圆锥（C）四面体（D）三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．（3）【2014年福建，理3，5分】等差数列na的前n项和nS，若132,12aS，则6a（）（A）8（B）10（C）12（D）14【答案】C【解析】设等差数列na的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得33232122S，解得2d，则616125212aad，故选C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．（4）【2014年福建，理4，5分】若函数log(0,1)ayxaa且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由函数logayx的图像过点3,1，得3a．选项A中的函数为13xy，则其函数图像不正确；选项B中的函数为3yx，则其函数图像正确；选项C中的函数为3yx，则其函数图像不正确；选项D中的函数为3logyx，则其函数图像不正确，故选B．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．（5）【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S得值等于（）（A）18（B）20（C）21（D）40【答案】B【解析】输入0S，1n，第一次循环，0213S，2n；第二次循环，23229S，3n；第三次循环，392320S，4n，满足15S，结束循环，20S，故选B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（6）【2014年福建，理6，5分】直线:1lykx与圆22:1Oxy相交于,AB两点，则1k是“ABC的面积为12”的（）2（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离2111dk，解得0k．当1k时，12d，2222ABrd，则OAB的面积为1112222；当1k时，同理可得OAB的面积为12，则“1k”是“OAB的面积为12”的充分不必要条件，故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．（7）【2014年福建，理7，5分】已知函数21,0cos,0xxfxxx，则下列结论正确的是（）（A）fx是偶函数（B）fx是增函数（C）fx是周期函数（D）fx的值域为1,【答案】D【解析】由函数fx的解析式知，12f，1cos1cos1f，11ff，则fx不是偶函数；当0x时，令21fxx，则fx在区间0,上是增函数，且函数值1fx；当0x时，cosfxx，则fx在区间,0上不是单调函数，且函数值1,1fx；∴函数fx不是单调函数，也不是周期函数，其值域为1,，故选D．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．（8）【2014年福建，理8，5分】在下列向量组中，可以把向量3,2a表示出来的是（）（A）12(0,0),(1,2)ee（B）12(1,2),(5,2)ee（C）12(3,5),(6,10)ee（D）12(2,3),(2,3)ee【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B．【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据12aee列出方程解方程是关键，属于基础题．（9）【2014年福建，理9，5分】设,PQ分别为2262xy和椭圆22110xy上的点，则,PQ两点间的最大距离是（）（A）52（B）462（C）72（D）62【答案】D【解析】设圆心为点C，则圆2262xy的圆心为0,6C，半径2r．设点00,Qxy是椭圆上任意一点，则2200110xy，即22001010xy，∴222200000210106912469503CQyyyyy，当023y时，CQ有最大值52，则P，Q两点间的最大距离为5262r，故选D．【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．（10）【2014年福建，理10，5分】用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由11ab的展开式1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是（）（A）523455111aaaaabc（B）552345111abbbbbc（C）523455111abbbbbc（D）552345111abccccc【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为23451aaaaa；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球3都取出或都不取出，得其所有取法为51b；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551CcCcCcCcCc51c，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是523455111aaaaabc，故选A．【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年福建，理11，4分】若变量,xy满足约束条件102800xyxyx则3zxy的最小值为．【答案】1【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把3zxy变形为3yxz，则当直线3yxz经过点0,1时，z最小，将点0,1代入3zxy，得min1z，即3zxy的最小值为1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．（12）【2014年福建，理12，4分】在ABC中，60,4,23AACBC，则ABC的面积等于．【答案】23【解析】由sinsinBCACAB，得4sin60sin123B，∴90B，18030CAB，则11sin423sin302322ABCSACBCC，即ABC的面积等于23．【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．（13）【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）．【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4m3，高为1m得，另一边长为4xm．记容器的总造价为y元，则4444202110802080202?160yxxxxxx(元)，当且仅当4xx，即2x时，等号成立．因此，当2x时，y取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．（14）【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为．【答案】22e【解析】因为函数lnyx的图像与函数xye的图像关于正方形的对角线所在直线yx对称，则图中的两块阴影部分的面积为112lnd2(ln)2[(ln)(ln11)]2eeSxxxxxeee，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率22Pe．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．（15）【2014年福建，理15，4分】若集合{,,,}{1,2,3,4}abcd，且下列四个关系：①1a；②1b；③2c；④4d有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)abcd的个数是__．【答案】6【解析】若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d；由1a，1b，2c，得满足条件的有序数组为3a，2b，1c，4d或2a，3b，1c，4d．若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d；由②不正确，得1b，则满足条件的有序数组为43a，1b，2c，4d；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b，由1a，2c，4d，得满足条件的有序数组为2a，1b，4c，3d或3a，1b，4c，2d或4a，1b，3c，2d；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年福建，理16，13分】已知函数1()cos(sincos)2fxxxx．（1）若02，且2sin2，求()f的值；（2）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间．解：解法一：（1）因为02，2sin2，所以2cos2．所以22211()()22222f．（2）2111cos21112()sincoscossin2sin2cos2sin(2)22222224xfxxxxxxxx，22T．由222,242kxkkZ，得3,88kxkkZ．所以()fx的单调递增区间为3[,],88kkkZ．解法二：2111cos21112()sincoscossin2sin2cos2sin(2)22222224xfxxxxxxxx，（1）因为02，2sin2，所以4，从而2231()sin(2)sin24242f．（2）22T，由222,242kxkkZ得3,88kxkkZ