2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)

2014年湖北省高考数学理科试题及解析1.i为虚数单位，2)11(iiA.－1B.1C.－iD.i【解题提示】利用复数的运算法则进行计算【解析】选A.122)1)(1()1)(1()11(2iiiiiiii2.若二项式7)2(xax的展开式中31x的系数是84，则实数a＝A.2B.34C.1D.42【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解析】选C.因为1rTrrrrrrrxaCxaxC2777772)()2(，令327r，得2r，所以84227227aC，解得a＝1.3.设U为全集，BA,是集合，则“存在集合C使得,UACBCð”是“BA”的A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断【解析】选C.依题意，若CA，则UUCA痧，当UBCð，可得BA；若BA，不妨另CA，显然满足,UACBCð，故满足条件的集合C是存在的.4.根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为abxyˆ，则A.0,0baB.0,0baC.0,0baD.0.0ba【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b与a的符号问题【解析】选B.画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0b，0a5..在如图所示的空间直角坐标系xyzO中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解析】选D.在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x)，()gx满足11()g()d0fxxx，则称f(x)，()gx为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos22fxxgxx；②()1,g()1fxxxx；③2(),g()fxxxx其中为区间]1,1[的正交函数的组数是（）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解析】选C.对①，1111111111(sincos)(sin)cos|02222xxdxxdxx，则)(xf、)(xg为区间]1,1[上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033xxdxxdxxx，则)(xf、)(xg不为区间]1,1[上的正交函数；对③，1341111()|04xdxx，则)(xf、)(xg为区间]1,1[上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式0200xyyx确定的平面区域记为1，不等式21yxyx，确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）A.81B.41C.43D.87【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D.依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSPS.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式21.36vLh它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式2275vLh相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.227B.258C.15750D.355113【解题提示】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力。根据近似公式2275VLh，建立方程，即可求得结论【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，2)2(rL，2221112(2)331275VShrhrhLh，所以121275，即的近似值为2589.已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123FPF,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.433B.233C.3D.2【解题提示】椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值【解析】选A.设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为1a（1aa），半焦距为c，由椭圆、双曲线的定义得aPFPF2||||21，121||||2PFPFa，所以11||aaPF，12||aaPF，因为123FPF，由余弦定理得22211114()()2()()cos3caaaaaaaa，所以212234aac，即2122122221)(2124cacacacaca，所以212148)11(eee，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为433.10.已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，当0x时，)3|2||(|21)(222aaxaxxf，若Rx，)()1(xfxf，则实数a的取值范围为（）A.]61,61[B.]66,66[C.]31,31[D.]33,33[【解题提示】考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立【解析】选B.依题意，当0x时，2222220,2,2,3)(axxaxaaaxaxxf，作图可知，)(xf的最小值为2a，因为函数)(xf为奇函数，所以当0x时)(xf的最大值为2a，因为对任意实数x都有，)()1(xfxf，所以，1)2(422aa，解得6666a，故实数a的取值范围是]66,66[.11.设向量(3,3)a，(1,1)b，若abab，则实数________.【解析】因为ab(3,3)，ab(3,3)，因为(ab)(ab)，所以0)3)(3()3)(3(，解得3答案：3【误区警示】解题时要明确知道abab的充要条件是(ab)(ab)0，不要与向量平行的充要条件弄混。12.直线1:lyxa和2:lyxb将单位圆22:1Cxy分成长度相等的四段弧，则22ab________.【解析】依题意，圆心)0,0(到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的41，圆心到1:lyxa的距离为22|010|11a（-1）+（），圆心到2:lyxb的距离为22|010|11b（-1）+（），即2||2||ba，2245cos2||a，所以122ba，故222ba.答案：2【误区警示】解答本题时容易出现的问题是不能把“将单位圆22:1Cxy分成长度相等的四段弧”用数学语言表示出来。13.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为Ia，按从大到小排成的三位数记为Da（例如815a，则158Ia，851Da）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b________.【解析】当123a，则123198123321b；当198a，则198783198981b；当783a，则783495378873b；当495a，则ab495459954，终止循环，故输出495b答案：495【误区警示】解答本题时易犯的错误是循环计算(a)I(a)bD时出现计算错误14.设xf是定义在,0上的函数，且0xf，对任意0,0ba，若经过点bfbafa,,,的直线与x轴的交点为0,c，则称c为ba,关于函数xf的平均数，记为),(baMf，例如，当)0(1xxf时，可得2),(bacbaMf，即),(baMf为ba,的算术平均数.（1）当)0_____(xxf时，),(baMf为ba,的几何平均数；（2）当)0_____(xxf时，),(baMf为ba,的调和平均数baab2；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【解析】：（1）设(x)xf，（x＞0），则经过点(a,)a、(,)bb的直线方程为yabaxaba，令y=0，求得xcab，∴当(x)xf，（x＞0）时，),(baMf为a，b的几何平均数ab（2）设)0()(xxxf，则经过点),(aa，),(bb的直线方程为ababaxay，令0y，所以baabxc2，所以当)0(xxxf时，),(baMf为ba,的调和平均数baab2答案：（1）x（2）x【误区警示】解答本题时容易出现的错误是不能正确理解新定义),(baMf15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为BA,，过PA的中点Q作割线交⊙O于DC,两点，若,3,1CDQC则_____PB.【解析】由切割线定理得4)31(12QDQCQA，所以2QA，4PAPB.答案：4【误区警示】解答本题时容易出现的问题是错误使用切割线定理。16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是33tytx为参数t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2，则1C与2C交点的直角坐标为_______.【解析】由33tytx消去t得)0,0(322yxyx，由2得422yx，解方程组222234yxyx得1C与2C的交点坐标为)1,3(.答案：)1,3(【误区警示】解答本题时容易出现的问题是消去33tytx中的参数t时出现错误。17.某实验室一天的温度（单位：oC）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系：(t)103cossin,[0,24).1212fttt(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11oC，则在哪段时间实验室需要降温？【解题指南】（Ⅰ）将ππ()103cossin1212fttt化为的形式，可求得只一天的温度最大值和最小值，进而求得最大温差。（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得11232sint（）＜，即71161236t＜，解得t的范围，可得结论．【解析】（Ⅰ）因为31(t)102(costsint)102sin(t)212212123f又0t24当t2时，sin(t)1123；当t14时，sin(t)1123。于是(t)f在[0,24)上取得最大值12oC，取得最小值8oC.故实验室这一天最高温度为12oC，最低温度为8oC，最大温差为4oC。（Ⅱ）依题意，当(t)11f时实验室需要降温由（1）得(t)102sin(t)123f，故有102sin(t)11123即1sin(t)1232。又024t，因此711t61236，即1018t。在10时至18时实验室需要降温。18.已知等差数列{a}n满足：1a＝2，且123,,aaa成等比数列.（1）求数列{a}n的通项公式.（2）记nS为数列{a}n的前n项和，是否存在正整数n