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一元二次方程内容简介:1.了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式:20(0)axbxca.2.掌握一元二次方程的四种解法,并能灵活运用.3.掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解相应问题.4.掌握一元二次方程根与系数的关系,会用它们解决有关问题.5.会解一元二次方程应用题.知识点一:一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】一元二次方程的一般形式:20(0)axbxca例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A12132xxB02112xxC02cbxaxD1222xxx变式:当k时,关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程,则m的值为。针对练习:1、方程782x的一次项系数是,常数项是。2、若方程112xmxm是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是。知识点二:一元二次方程的解【知识要点】1、当已知一元二次方程的一个根时,要熟练地将这个根代入原方程,并灵活运用得到的等式。2、在20(0)axbxca中,x取特殊值时,a、b、c之间满足的关系式。例1、已知322yy的值为2,则1242yy的值为。例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0,则a的值为。例3、一元二次方程002acbxax的系数满足bca,则此方程必有一根为。例4、已知ba,是方程042mxx的两个根,cb,是方程0582mxx的两个根,则m的值为。针对练习:1、已知方程0102kxx的一根是2,则k为,另一根是。2、已知m是方程012xx的一个根,则代数式mm2。3、已知a是0132xx的根,则aa622。4、方程02acxcbxba的一个根为()A1B1CcbDa5、若yx则yx324,0352。知识点三:一元二次方程的解法【知识要点】一元二次方程的常用解法有(1)直接开平方法,(2)配方法,(3)求根公式法,(4)因式分解法。通常可以这样选择合适的解法:(1)当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直接开平方法。(2)当方程的一边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时,运用因式分解法求解。(3)当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负数时,常用配方法。(4)当不便用上面三种方法时,就用求根公式法。例1、解方程:;08212x;09122x例2、若2221619xx,则x的值为。例3、3532xxx的根为()A25xB3xC3,2521xxD52x例4、若044342yxyx,则4x+y的值为。变式1:2222222,06b则ababa。变式2:若032yxyx,则x+y的值为。变式3:若142yxyx,282xxyy,则x+y的值为。例5、方程062xx的解为()A.2321,xxB.2321,xxC.3321,xxD.2221,xx针对练习:1、若实数x、y满足023yxyx,则x+y的值为()A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或22、方程:2122xx的解是。3.解方程:12244212xxxx知识点四:配方法运用【知识要点】用配方法解一元二次方程的一般步骤:例:用配方法解24610xx第一步,将二次项系数化为1:231024xx,(两边同除以4)第二步,移项:23124xx第三步,两边同加一次项系数的一半的平方:2223313()()2444xx第四步,完全平方:235()416x第五步,直接开平方:3544x,即:15344x,25344x例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0,47102xx的值恒小于0。例2、已知x、y为实数,求代数式74222yxyx的最小值。例3、已知,x、yyxyx0136422为实数,求yx的值。变式:已知041122xxxx,则xx1.知识点五:降次思想的应用【知识要点】利用因式分解或整式的变形,巧妙地在运算中进行变形,从而达到降次的目的。例1、已知0232xx,求代数式11123xxx的值。例2、如果012xx,那么代数式7223xx的值。例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根,求1152223aaaa的值。知识点六:根的判别式理解与应用24bac【知识要点】(1)一元二次方程20(0)axbxca根的情况:①当0时,方程有两个不相等的实数根;②当0时,方程有两个相等的实数根;③当0时,方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况;(3)确定字母的值或取值范围。例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根,则k的取值范围是。例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根,则m的取值范围是()A.10且mmB.0mC.1mD.1m例3、已知关于x的方程0222kxkx(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式,试求m的值.针对练习:1、当k时,关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。2、当k取何值时,二次三项式kxx2432是一个完全平方式?这个完全平方式是什么?3、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根,则m的值是.4、若关于x的一元二次方程2210xx有实数根,则m的取值范围是()A.1mB.1m且0mC.m≤1D.m≤1且0m5、一元二次方程2210xx的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根6、已知关于x的一元二次方程2410xxm.请你为m选取一个合适的整数,当m____________时,得到的方程有两个不相等的实数根;7、若关于x的方程227(21)04xkxk有两个相等的实数根,求k的取值范围。8、已知关于x的方程2(2)2(1)10mxmxm,当m为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根;(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程有两个不等的实数根.9、已知,,abc是三角形的三条边,求证:关于x的方程222222()0bxbcaxc没有实数根.10、已知关于x的一元二次方程22xmx有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A.1mB.2mC.m≥0D.0m11、一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根,则k的取值范围是__________.12、求证:关于x的方程2(21)10xkxk有两个不相等的实数根。知识点七:根与系数的关系(韦达定理)【知识要点】韦达定理:如一元二次方程20(0)axbxca的两根为12,xx,则12bxxa,12cxxa适用题型:(1)已知一根求另一根及未知系数;(2)求与方程的根有关的代数式的值;(3)已知两根求作方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数;(5)确定根的符号:(12,xx是方程两根);(6)题目给出两根之间的关系,如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt的两直角边求斜边等情况.注意:(1)222121212()2xxxxxx(2)22121212()()4xxxxxx;(3)①方程有两正根,则1212000xxxx;②方程有两负根,则1212000xxxx;③方程有一正一负两根,则1200xx;(4)应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把所求作得方程的二次项系数设为1,即以12,xx为根的一元二次方程为21212()0xxxxxx;求字母系数的值时,需使二次项系数0a,同时满足≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和12xx,两根之积12xx的代数式的形式,整体代入。针对练习:1、已知方程0132xx的两根是21,xx,则:21xx,21xx=,2、已知方程022kxx的一个根是1,则另一个根是,k的值是.3、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数,则p=______,若两根互为倒数,则q=_____.4、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是–1、3,则b=,,c=.5、若方程02nmxx中有一个根为零,另一个根非零,则nm,的值为()(A)0,0nm(B)0,0nm(C)0,0nm(D)0mn6、两根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+21x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x-8=07、已知方程22xx,则下列说中,正确的是()(A)方程两根和是1(B)方程两根积是2(C)方程两根和是1(D)方程两根积是两根和的2倍8、已知方程062kxx的两个根都是整数,则k的值可以是()(A)—1(B)1(C)5(D)以上三个中的任何一个9、已知一元二次方程的两根之和是3,两根之积是2,则这个方程是()(A)0232xx(B)0232xx(C)0232xx(D)0232xx10、如果方程062bxax与方程01522bxax有一个公共根是3,求a,b的值,并求方程的另一个根.11、已知关于x的方程(a2–3)x2–(a+1)x+1=0的两个实数根互为倒数,求a的值.12、在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与-3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2。这个方程的根应该是什么?知识点八:一元二次方程应用题【传播问题】例1:有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?【分析】:设平均一个人传染了x个人。最开始有一人患流感,第一轮传染时,传染源是人,新感染了人,共有人感冒。第二轮传染时,传染源是人,新感染了人,共有人感冒。你发现题目的等量关系了吗?请试着列出方程并求解。(教师注意点评)例2:某种树木的主干长出若干支杆,每个支杆又长出同样数目的小分支,主干、支杆和小分支的总数为91,每个支杆长出多少小分支?巩固练习:1、生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,那么根据题意列出的方程是()A.x(x+1)=182B.x(x-1)=182C.2x(x+1)=182D.x(1-x)=182×22、一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共().A.12人B.18人C.9人D.10人3、学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛),共进行了15场比赛,那么有几个球队参加了这次比赛?4、一个多边形有35条对角线,求这个多边形的边数。5、一个两位数等于它的个位数的平方,且十位数字比个位数字小3,求这个两位数。6、三个连续奇数,其中最小的数的平方的3倍减去25等于较大两个数的平方和,试求这三个数。7、一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新数与原数的乘积为736,求原来的两位数。8、若直角三角形的三边长为连续偶数,求这个直角三角形的面积。如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感?【变化率问题】例:两年前生产1吨甲种药品
本文标题:一元二次方程全章复习讲义
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