【导与练】-高考数学-试题汇编-第二节圆与方程-文(含解析)

第二节圆与方程求圆的方程考向聚焦高考常考内容,主要考查(1)利用圆的几何性质求圆的方程;(2)利用待定系数法求圆的方程,一般以选择题、填空题形式出现,难度中低档,所占分值4~5分1.(2011年四川卷,文3)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()(A)(2,3)(B)(-2,3)(C)(-2,-3)(D)(2,-3)解析:圆x2+y2-4x+6y=0,化为标准形式为(x-2)2+(y+3)2=13,∴圆心的坐标为(2,-3).故选D.答案:D.2.(2010年广东卷,文6)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是()(A)(x-)2+y2=5(B)(x+)2+y2=5(C)(x-5)2+y2=5(D)(x+5)2+y2=5解析:由题意可设圆的方程为(x-a)2+y2=5(a0).=,|a|=5,所以a=-5.故所求方程为(x+5)2+y2=5,故选D.答案:D.当题目的条件与圆心、半径有关时,一般可设圆的标准方程,利用待定系数法列方程进行求解,求圆的标准方程关键是求圆心和半径.3.(2011年辽宁卷,文13)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为.解析:设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,由圆过A(5,1),B(1,3)两点,得⇒,∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.答案:(x-2)2+y2=104.(2010年山东卷,文16)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2,则圆C的标准方程为.解析:设圆心坐标为(x0,0)(x00).由于圆过点(1,0),则半径r=|x0-1|,圆心到直线x-y-1=0的距离为d=.由弦长为2可知()2=(x0-1)2-2.则(x0-1)2=4,∴x0-1=±2.∴x0=3或x0=-1(舍去).故圆心为(3,0),半径为2,所求圆的方程为(x-3)2+y2=4.答案:(x-3)2+y2=45.(2010年全国新课标卷,文13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为.解析:根据圆与直线相切可知r=d==.∴所求圆的方程为x2+y2=2.答案:x2+y2=26.(2012年全国大纲卷,文22,12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y-)2=r2(r0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r;(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离.解:(1)设A(x0,(x0+1)2),对y=(x+1)2求导得y'=2(x+1),故l的斜率k=2(x0+1),当x0=1时,不合题意,所以x0≠1,圆心为M(1,),MA的斜率k'=.由l⊥MA知k·k'=-1,即2(x0+1)·=-1,解得x0=0,故A(0,1),r=|MA|==,即r=.(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),即y=2(t+1)x-t2+1,若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为,即=,化简得t2(t2-4t-6)=0,解得t0=0,t1=2+,t2=2-,抛物线C在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为y=2x+1,①y=2(t1+1)x-+1,②y=2(t2+1)x-+1,③②-③得x==2.将x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).所以D到l的距离d==.直线与圆、圆与圆的位置关系考向聚焦高考常考内容以直线与圆的位置关系为主,考查直线与圆相切、相交问题,一般以选择题、填空题形式出现,难度中档,所占分值4~5分7.(2012年陕西卷,文6,5分)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则()(A)l与C相交(B)l与C相切(C)l与C相离(D)以上三个选项均有可能解析:因为点P(3,0)在圆的内部,所以过点P的直线必与圆相交.选A.答案:A.8.(2012年辽宁卷,文7,5分)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()(A)x+y-1=0(B)x+y+3=0(C)x-y+1=0(D)x-y+3=0解析:已知圆的圆心为(1,2),当直线将圆平分时,直线必过圆心(1,2),检验得C正确.答案:C.9.(2012年山东卷,文9,5分)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离解析:本题考查两圆位置关系的判定,易知两圆的圆心距为=,两圆半径的和为5,半径之差为1,又15,故两圆相交.答案:B.10.(2012年湖北卷,文5,5分)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为()(A)x+y-2=0(B)y-1=0(C)x-y=0(D)x+3y-4=0解析:要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,通过观察图形,显然只需该直线与直线OP垂直即可,则所求直线的斜率为-1,又该直线过点P(1,1),易求得该直线的方程为x+y-2=0.答案:A.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线OP垂直,利用这一条件求出斜率,进而求得该直线的方程.11.(2012年安徽卷,文9,5分)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是()(A)[-3,-1](B)[-1,3](C)[-3,1](D)(-∞,-3]∪[1,+∞)解析:由题意,圆心到直线的距离d=≤r=,所以|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.答案:C.12.(2011年安徽卷,文4)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()(A)-1(B)1(C)3(D)-3解析:已知圆的圆心为(-1,2),由题意知(-1,2)在直线3x+y+a=0上,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1.答案:B.13.(2011年大纲全国卷,文11)设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()(A)4(B)4(C)8(D)8解析:∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|===8.答案:C.14.(2010年湖北卷,文9)若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是()(A)[1-2,1+2](B)[1-,3](C)[-1,1+2](D)[1-2,3]解析:曲线y=3-可化为(x-2)2+(y-3)2=4,且0≤x≤4,1≤y≤3,所以该曲线表示以M(2,3)为圆心,以2为半径的下半圆(如图所示).要使直线y=x+b与该半圆有公共点,纵截距b需满足b1≤b≤3.由=2知b1=1-2.∴1-2≤b≤3,故选D.答案:D.15.(2012年江西卷,文14,5分)过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是.解析:本题考查直线与圆相切的性质,直角三角形的性质,点到点(线)的距离公式的应用.法一:因为点P在直线x+y-2=0上,所以可设点P(x0,-x0+2),设其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60°,所以∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP|=2|OM|=2.由点到点的距离公式得=2,解得x0=.故点P(,).法二:设其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60°,所以∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP|=2|OM|=2.又圆心O到直线x+y-2=0的距离为d==2,所以点P即为圆心O在直线x+y-2=0上的射影.故直线OP的方程为y=x,联立解得故点P(,).答案:(,)法一中,根据直线的方程巧设点P的坐标是求解本题的突破点之一;根据圆的半径利用直角三角形的性质,得到点P与点O的距离是求解本题的突破点之二;法二中,巧妙利用圆心O到直线x+y-2=0的距离恰好等于圆心O到点P的距离,从而得到点P即为圆心O在直线x+y-2=0上的射影,进而快速求解.16.(2012年江苏数学,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:本题考查圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系.法一:设直线上一点为(t,kt-2),圆心C为(4,0),则两圆的圆心距满足≤2对t∈R有解即(1+k2)t2-(4k+8)t+16≤0有解,所以有(4k+8)2-4×16(1+k2)≥0,所以0≤k≤.法二:由题意,圆心C到直线的距离不大于2,圆心C为(4,0),∴d=≤2,所以0≤k≤.答案:本题对直线与圆的位置关系给出了新的语言,题目焕然一新.17.(2010年江苏卷,9)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.解析:要使圆上有且只有4个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,只需原点O到直线的距离d满足0≤d1,∴0≤1,∴-13c13.答案:(-13,13)18.(2011年全国新课标卷,文20)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.解:(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴交点为(3+2,0),(3-2,0),故可设圆C的圆心为(3,t),则有(0-3)2+(1-t)2=(3+2-3)2+(0-t)2,∴t=1,则圆C的半径为=3.∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组,消去y得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,则据题意知,Δ=56-16a-4a20.又x1+x2=4-a,x1x2=①由于OA⊥OB,故x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,∴2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②①代入②得a=-1满足Δ0.故a=-1.与弦有关的问题考向聚焦高考热点,主要从两个方面考查(1)求弦长;(2)讨论参数的范围,多以选择题、填空题形式出现,难度中档,所占分值4~5分备考指津求弦长问题一般应用圆心到直线的距离公式或弦心距、半径、半弦构成的直角三角形求解,要注意转化思想的应用及数形结合思想的训练19.(2012年广东卷,文8,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于()(A)3(B)2(C)(D)1解析:本小题主要考查直线与圆相交后弦长的求法.由圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1知|AB|=2=2.答案:B.20.(2012年重庆卷,文3,5分)设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|等于()(A)1(B)(C)(D)2解析:x2+y2=1的圆心与半径分别是(0,0),r=1,圆心到直线y=x的距离d==0,∴AB为直径,∴|AB|=2,故选D.答案:D.本题主要考查如何求直线被圆所截弦长问题.21.(2012年福建卷,文7,5分)直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于()(A)2(B)2(C)(D)1解析:圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d==1,半径r=2,|AB|=2=2=2,故选B.答案:B.本题主要考查圆的半径、半弦与弦心距之间的勾股