第1讲圆与圆锥曲线的基本问题

2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创1/40第1讲圆与圆锥曲线的基本问题《创新设计》图书第1讲圆与圆锥曲线的基本问题高考定位1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内容考查的重点，涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的判断、弦长问题及切线问题等；2.圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为选择题或填空题.真题感悟x2x2221.(2016·浙江卷)已知椭圆C1：m2＋y＝1(m＞1)与双曲线C2：n2－y＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()＞n且e1e2＞1＜n且e1e2＞1＞n且e1e2＜1＜n且e1e2＜1解析题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.222242m－1n＋1n＋1n＋1n＋2n＋1122又∵e1·e2＝m2·n2＝2·n2＝4＝1＋4＞1，∴e1·e2＞1.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创2/40n＋2n＋2n2n＋2n2答案A2.(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()《创新设计》图书解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r0)，又可?p?设A(x0，22)，D?－2，5?，??点A(x0，22)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①2点A(x0，22)在圆x2＋y2＝r2上，∴x20＋8＝r，②?p??p?22222点D?－2，5?在圆x＋y＝r上，∴5＋?2?＝r，③????联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.答案Bx2y23.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程2－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点m＋n3m2－n间的距离为4，则n的取值范围是()A.(－1，3)C.(0，3)解析∵方程x2m＋n2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创3/402B.(－1，3)D.(0，3)－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得3m－n2y2－m2y24.(2016·浙江卷)设双曲线x－3＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲2线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.解析如图，已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F1F2|＝4，对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，《创新设计》图书于△PF1F2为锐角三角形，222??＜m＋4，结合实际意义需满足?解得－1＋7＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|222??4＜＋m，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创4/40＝2m＋2，∴27＜2m＋2＜8.答案(27，8)考点整合1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.E??D(2)圆的一般方程：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F＞0)，圆心为?－2，－2?，??2222D2＋E2－4F半径为r＝.22.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|22，弦长公式|AB|＝2r－d(弦心距d).22A＋B3.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创5/40＝d(d为M点到准线的距离).4.圆锥曲线的标准方程x2y2y2x2(1)椭圆：a2＋b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或a2＋b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；x2y2y2x2(2)双曲线：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或a2－b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点《创新设计》图书在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).5.圆锥曲线的几何性质c(1)椭圆：e＝a＝b21－a2；b21＋a2；c(2)双曲线：①e＝a＝ba②渐近线方程：y＝±x或y＝±abx；(3)抛物线：设y2＝2px(p＞0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为其焦点.p①焦半径|CF|＝x1＋2；②过焦点的弦长|CD|＝x1＋x2＋p；p2③x1x2＝4，y1y2＝－p2.热点一直线与圆的有关问题[命题角度1]求圆的方2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/40程【例1－1】(1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)45在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为5，则圆C的方程为________.x2y2(2)(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆16＋4＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析(1)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0.|2a－0|45＝5，解得a＝2.5则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝∴圆C的半径r＝|CM|＝2)2＋y2＝9.2＋2＝3，因此圆C的方程为(x－(2)题意知，椭圆上、下顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，左、右顶点的坐标为(－《创新设计》图书4，0)，(4，0)，圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)，设3m＝，??m＋4＝r，?2?圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，则有?解得?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创7/4022252??＝r，r??＝4，22?3?2225所以圆的标准方程为?x－2?＋y＝4.???3?2225答案(1)(x－2)＋y＝9(2)?x－2?＋y＝4??22探究提高求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用.[命题角度2]圆的切线问题【例1－2】(1)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线l：2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()4πC.(6－25)πππ(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________.解析(1)题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创8/40使圆C的面积最小(D为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以平面几何知识，当OC所在直线与l垂直时，|OD|最小(D为切点)，即圆C的|2×0＋0－4|42直径最小，则|OD|＝＝，所以圆的半径为，圆C的面积的最小5554值为S＝πr2＝5π.《创新设计》图书(2)依题意得△OO1A是直角三角形，∴|OO1|＝1|AB|1S△OO1A＝2·2·|OO1|＝2·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝2·|OA|·|AO1|2×5×25＝4.|OO1|＝55＋20＝5，答案(1)A(2)4探究提高(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.[命题角度3]直线与圆的位置关系【例1－3】已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创9/406x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理.解(1)x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，①当线段AB不在x轴上时，有C1M⊥AB，yy则kC1M·kAB＝－1，即·＝－1，x－3x?3?229整理得?x－2?＋y＝4，??5又当直线l与圆C1相切时，易求得切点的横坐标为3.?3?229?5?所以此时M的轨迹C的方程为?x－2?＋y＝4?3＜x＜3?.?????3?229②当线段AB在x轴上时，点M的坐标为(3，0)，也满足式子?x－2?＋y＝4.??《创新设计》图书?3?229?5?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创10/40综上，线段AB的中点M的轨迹C的方程为?x－2?＋y＝4?3＜x≤3?.????3?3?(3)(2)知点M的轨迹是以C?2，0?为圆心，r＝2为半径的??部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)，?525??，且E?，3??3?525??.F?，－3??3??3???k?2－4?－0?????又直线L：y＝k(x－4)过定点D(4，0)，当直线L与圆C相切时，2k＋233＝2，得k＝±4，?25??0－?－3??25又kDE＝－kDF＝－＝－57，4－3结合如图可知当只有一个交点.探究提高此类题易失分点有两处：一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是数形结合求参数的取值范围时，定要注意“草图不草”，如本题，画出轨迹C时，若把端点E，F画成实心点，借形解题时求出的斜率就会出错.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/40【训练1】(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).?33??2525??时，直线k∈?－4，4?∪?－，77????L：y＝k(x－4)与曲线C(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准《创新设计》图书方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；→→→(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0).则2＋2＝b＋5.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创12/40解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又BC＝OA＝22＋42＝25，∴题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝25，即|2×6－7＋m|＝25，解得m＝5或m＝－15.22＋2?BC?25－?2?＝25－5＝??2∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.→→→(3)TA＋TP＝TQ，则四边形AQPT为平行四边形，又∵P、Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.∴|TA|＝|PQ|≤10，即2＋42≤10，解得2－221≤t≤2＋221.故所求t的范围为[2－221，2＋221].热点二圆锥曲线的定义、方程、性质的应用[命题角度1]定义与标准方程的应用【例2－1】(1)(2015·浙江卷)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创13/40C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()《创新设计》图书|BF|－1A.|AF|－1|BF|