圆与圆锥曲线的基本问题

《创新设计》图书第1讲圆与圆锥曲线的基本问题高考定位1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内容考查的重点，涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的判断、弦长问题及切线问题等；2.圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为选择题或填空题.真题感悟1.(2016·浙江卷)已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1解析由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.又∵e21·e22＝m2－1m2·n2＋1n2＝n2＋1n2＋2·n2＋1n2＝n4＋2n2＋1n4＋2n2＝1＋1n4＋2n2＞1，∴e1·e2＞1.答案A2.(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r0)，又可设A(x0，22)，D－p2，5，《创新设计》图书点A(x0，22)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0，22)在圆x2＋y2＝r2上，∴x20＋8＝r2，②点D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋p22＝r2，③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.答案B3.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3，故选A.答案A4.(2016·浙江卷)设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足（m＋2）2＜m2＋42，42＜（m＋2）2＋m2，解得－1＋7＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴27＜2m＋2＜8.《创新设计》图书答案(27，8)考点整合1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为－D2，－E2，半径为r＝D2＋E2－4F2.2.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，弦长公式|AB|＝2r2－d2(弦心距d).3.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).4.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).5.圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e＝ca＝1－b2a2；(2)双曲线：①e＝ca＝1＋b2a2；《创新设计》图书②渐近线方程：y＝±bax或y＝±abx；(3)抛物线：设y2＝2px(p＞0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为其焦点.①焦半径|CF|＝x1＋p2；②过焦点的弦长|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝p24，y1y2＝－p2.热点一直线与圆的有关问题[命题角度1]求圆的方程【例1－1】(1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析(1)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0.则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝|2a－0|5＝455，解得a＝2.∴圆C的半径r＝|CM|＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)由题意知，椭圆上、下顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，左、右顶点的坐标为(－4，0)，(4，0)，由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)，设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，则有m2＋4＝r2，（4－m）2＝r2，解得m＝32，r2＝254，所以圆的标准方程为x－322＋y2＝254.答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)x－322＋y2＝254探究提高求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要《创新设计》图书素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用.[命题角度2]圆的切线问题【例1－2】(1)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线l：2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.45πB.34πC.(6－25)πD.54π(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________.解析(1)由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与l垂直时，|OD|最小(D为切点)，即圆C的直径最小，则|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径为25，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝45π.(2)依题意得△OO1A是直角三角形，∴|OO1|＝5＋20＝5，S△OO1A＝12·|AB|2·|OO1|＝12·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝2·|OA|·|AO1||OO1|＝2×5×255＝4.答案(1)A(2)4探究提高(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.[命题角度3]直线与圆的位置关系【例1－3】已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；《创新设计》图书(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解(1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，①当线段AB不在x轴上时，有C1M⊥AB，则kC1M·kAB＝－1，即yx－3·yx＝－1，整理得x－322＋y2＝94，又当直线l与圆C1相切时，易求得切点的横坐标为53.所以此时M的轨迹C的方程为x－322＋y2＝9453＜x＜3.②当线段AB在x轴上时，点M的坐标为(3，0)，也满足式子x－322＋y2＝94.综上，线段AB的中点M的轨迹C的方程为x－322＋y2＝9453＜x≤3.(3)由(2)知点M的轨迹是以C32，0为圆心，r＝32为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)，且E53，253，F53，－253.又直线L：y＝k(x－4)过定点D(4，0)，当直线L与圆C相切时，由k32－4－0k2＋（－1）2＝32，得k＝±34，《创新设计》图书又kDE＝－kDF＝－0－－2534－53＝－257，结合如图可知当k∈－34，34∪－257，257时，直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点.探究提高此类题易失分点有两处：一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是数形结合求参数的取值范围时，定要注意“草图不草”，如本题，画出轨迹C时，若把端点E，F画成实心点，借形解题时求出的斜率就会出错.【训练1】(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA→＋TP→＝TQ→，求实数t的取值范围.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0).则（6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又BC＝OA＝22＋42＝25，《创新设计》图书∴由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝52－BC22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m|22＋（－1）2＝25，解得m＝5或m＝－15.∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.(3)由TA→＋TP→＝TQ→，则四边形AQPT为平行四边形，又∵P、Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.∴|TA|＝|PQ|≤10，即（t－2）2＋42≤10，解得2－221≤t≤2＋221.故所求t的范围为[2－221，2＋221].热点二圆锥曲线的定义、方程、性质的应用[命题角度1]定义与标准方程的应用【例2－1】(1)(2015·浙江卷)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1(2)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1《创新设计》图书C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1解析(1)由图形知S△BCFS△ACF＝|BC||AC|＝xBxA，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴S△BCFS△ACF＝|BF