同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考基联动考向导析限时规范训练1．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.考基联动考向导析限时规范训练1．同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1，其等价形式为：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝(2)商式关系：，其等价形式为：sinα＝，cosα＝sinαtanα.基础自查考基联动考向导析限时规范训练sinθcosθtanθcotθsecθcscθ1同角三角函数基本关系式图表考基联动考向导析限时规范训练2．角的对称相关角的终边对称性α与π＋α关于对称α与π－α关于对称α与－α(或2π－α)关于对称α与π2－α关于直线对称X轴考基联动考向导析限时规范训练3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinαsinαcosα余弦cosα－cosα－cosαsinα正切tanαtanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限考基联动考向导析限时规范训练诱导公式1、同名三角函数的诱导公式的三角函数等于的同名三角2,,k函数，前面加上把看成锐角时三角函数的象限符号2、余名三角函数的诱导公式的三角函数等于的余名三角3,22函数，前面加上把看成锐角时原三角函数的象限符号函数名不变符号看象限函数名互变符号看象限考基联动考向导析限时规范训练1P1M2P2MO2用单位圆推导诱导公式考基联动考向导析限时规范训练联动思考想一想：“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？答案：无关．只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．考基联动考向导析限时规范训练联动体验1．(2010·全国卷Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2解析：cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝1－k2，tan80°＝1－k2k，tan100°＝－tan80°＝－1－k2k，故选B.答案：B考基联动考向导析限时规范训练2．α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα＝()A.513B．－513C.512D．－512解析：∵α是第四象限角，∴sinα＜0，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－12132＝－513.答案：B考基联动考向导析限时规范训练3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为()A．1B．2sin2αC．0D．2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.答案：D考基联动考向导析限时规范训练4．若sin(α－π)＝35，α为第四象限，则tanα＝()A．－34B．－43C.34D.43解析：∵sin(α－π)＝35，∴sinα＝－35，又α为第四象限角，∴cosα＝1－sin2α＝45.∴tanα＝sinαcosα＝－34.答案：A考基联动考向导析限时规范训练5．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.解析：∵sin89°＝sin(90°－1°)＝cos21°∴sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，sin245°＝12∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝44＋12＝892.答案：892考基联动考向导析限时规范训练考向一利用同角三角函数基本关系式求值【例1】已知cosα＝－817，求sinα和tanα的值．解：∵cosα＝－817＜0，∴α是第二、三象限的角．若α是第二象限角，则sinα＞0，tanα＜0，∴sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝－158.若α是第三象限角，则sinα＜0，tanα＞0，∴sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝sinαcosα＝158.考基联动考向导析限时规范训练反思感悟：善于总结，养成习惯1．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．2．注意公式逆用及变形应用1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.1．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．2．注意公式逆用及变形应用1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考基联动考向导析限时规范训练迁移发散1．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.(2)sin2α＋sinαcosα＋2弦化切考基联动考向导析限时规范训练考向二利用诱导公式化简、求值【例2】化简：tan3π－αsinπ－αsin3π2－α＋sin2π－αcosα－7π2sin3π2＋αcos2π＋α.解：原式＝tan－αsinα·－cosα＋sin－α·cosα＋π2－cosα·cosα＝tanαsinα·cosα＋－sinα·－sinα－cosα·cosα＝1cos2α－sin2αcos2α＝1－sin2αcos2α＝cos2αcos2α＝1.考基联动考向导析限时规范训练反思感悟：善于总结，养成习惯1．化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．2．诱导公式的应用原则：去负、脱周，化锐．3．化简前，注意分析角的结构特点，选择恰当的公式和化简顺序．考基联动考向导析限时规范训练迁移发散2．已知f(α)＝sinπ－α·cos2π－αcos－π－α·tanπ－α，则f(－31π3)的值为()A.12B．－12C.32D．－32解析：∵f(α)＝sinα·cosα－cosα·－tanα＝cosα∴f－31π3＝cos－31π3＝cos31π3＝cos10π＋π3＝cosπ3＝12.答案：A考基联动考向导析限时规范训练考向三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】是否存在α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cosπ2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．解：假设存在α、β使得等式成立，即有sin3π－α＝2cosπ2－β，①3cos－α＝－2cosπ＋β，②由诱导公式可将①②化为sinα＝2sinβ，③3cosα＝2cosβ，④考基联动考向导析限时规范训练③2＋④2得，sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝12.又∵α∈－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入④得cosβ＝32.又β∈(0，π)．∴β＝π6，代入③可知符合．将α＝－π4代入④得cosβ＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．考基联动考向导析限时规范训练反思感悟：善于总结，养成习惯求角问题是三角函数中常见的求值问题，对这类问题根据所求角的范围选用合适的公式求值，可以避免多解现象的发生，如所求的角在(0，π)内宜选用余弦进行．考基联动考向导析限时规范训练迁移发散3．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三内角．解：由sin(2π－A)＝－2sin(π－B)可得，sinA＝2sinB①由3cosA＝－2cos(π－B)可得3cosA＝2cosB②由①2＋②2可得sin2A＋3cos2A＝2，即2cos2A＝1，解得cosA＝22或－22.当cosA＝22时，cosB＝32，即A＝π4，B＝π6，C＝7π12；当cosA＝－22时，cosB＝－32，即A＝3π4，B＝5π6不满足题意．∴A＝π4，B＝π6，C＝7π12.考基联动考向导析限时规范训练课堂总结感悟提升1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法，主要利用公式tanx＝sinxcosx化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＋11＋tan2θ＝tanπ4＝….注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．3．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负——脱周——化锐．特别注意函数名称和符号的确定．考基联动考向导析限时规范训练精品课件！考基联动考向导析限时规范训练精品课件！考基联动考向导析限时规范训练单击此处进入限时规范训练