直线系和圆系方程及其应用

第五讲、直线系方程和圆系方程的应用1．过两直线的交点的直线方程设：l1:A1x+B1y+C1=0l2:A1x+B1y+C1=0过两直线的交点的直线为l,则l方程为:A1x+B1y+C1+（A1x+B1y+C1）=0例1．已知直线经过直线7x+7y=24及x-y=0的交点且和原点的距离为512，求直线方程。解：设所求直线为7x+7y-24+(x-y)=0,变型为（7+）x+(7-)y-24=0由点到直线距离公式得：d=22)7()7(24=512,解得=1故所直线方程为：4x+3y-12=0或x+4y-12=0。2．过两圆的交点的圆系方程设：O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0过两圆的交点的圆系方程为O,则O为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0例2．求圆心在直线3x+4y-1=0上且过两圆x2+y2-x+y-2=0与x2+y2=5交点的圆的方程。解：设方程为x2+y2-x+y-2+(x2+y2-5)=0，变型为：0152111122yxyx故圆心为（)1(21,)1(21），代入直线方程得，01_)1(24)1(23，解得23所求为：x2+y2+2x-2y-11=03．过一圆和一直线的交点的圆系方程设：O:x2+y2+Dx+Ey+F=0l:Ax+By+C=0则过这个圆和这条直线的交点的圆系方程为O,则O为(x2+y2+Dx+Ey+F)+（Ax+By+C）=0例3．求过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，圆心在y轴上的圆的方程。解：设所求圆的方程为x2+y2-2x+（x+2y-3）=0变型为x2+y2-(2-)x+2y-3=0圆心为（22，-）因为圆心在y轴，故=2，所求圆的方程为x2+y2+4y-6=0上述方程的应用，可以起到化繁为简，化难为易的效果。例4.已知圆2260xyxym与直线230xy相交于,PQ两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数m的值。解：过直线230xy与圆2260xyxym的交点的圆系方程为：226(23)0xyxymxy，即22(1)2(3)30xyxym………………….①依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心（1,32）显然在直线230xy上，则12(3)302，解之可得1。又(0,0)O满足方程①，则30m，故3m例5.求过两圆2225xy和22(1)(1)16xy的交点且面积最小的圆的方程。解：圆2225xy和22(1)(1)16xy的公共弦方程为2222(1)(1)16(25)0xyxy，即22110xy过直线22110xy与圆2225xy的交点的圆系方程为2225(2211)0xyxy，即2222(1125)0xyxy依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(,)必在公共弦所在直线22110xy上。即22110，则114。代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448xy