1.3正方形讲义

正方形的性质与判断一．目标1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。2．能运用综合法证明矩形的判定定理。3．感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。二．学习重点掌握正方行的性质和判定以及证明方法。三．知识回顾1.平行四边形定义：两组对边，叫平行四边形。2.平行四边形性质：，，.3.平行四边形判定：，，。4菱形的性质：，。5.菱形的判定：，，。6.矩形的性质：，。7.矩形形的判定：，，。四．课程重点知识点二：正方形1.定义：有一组邻边，且有一个的叫做正方形。菱形，矩形，正方形和平行四边形的关系？2.性质：定理：正方形ABCD中，四个角和四条边的关系，两条对角线关系？性质1：正方形的四个角都是，四条边都。性质2：正方形的对角线且。【经典例题】1：、如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，连结AE交CD于F，则∠E=.2：如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是3：ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（）A、B、C、D、4：如图，正方形ABCD的边长为8，点F在DC上，且DF=2，E是AC上的一动点，求DE+EF的最小值。BCADFE重点：有两个定点和一个动点，求两线段和最短，找一个定点的对称点3.正方形判定：例题：如图，菱形ABCD中，①有∠BAC=90°，证明四边形ABCD是正方形；②对角线AC=BD，求证四边形ABCD是正方形。ADECBFBCAD判定1：有一个角的是正方形判定2：对角线的是正方形例题：如图，矩形ABCD中，AC⊥BD，求证四边形ABCD是正方形。BCAD判定3：对角线的是正方形【经典例题】1:已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．2:如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．3：如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE_________是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）【课堂小结】正方形的性质一、填空题1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°.2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，则∠AEC＝°.四边形四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形梯形梯形一角为90°一角为90°一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形两组对边平行两组对边平行只有一组对边平行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等一角为直角且一组邻边相等邻边相等邻边相等一角为90°一角为90°等腰梯形两腰相等3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶2.其中正确的有个.4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为°第6题图第7题图第8题图第9题图7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为.9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且CB=3，则CN=；AM的长是.10、正方形的面积是31，则其对角线长是________.11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.12、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为.13、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是.14、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是.15、如右图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确的结论是.（填序号）16、如右图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边△ABE，CE与DB相交于点F，则=。二、解答题第1题图第2题图第3题图第4题图O2O1第11题图第12题图第13题图第14题图17、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC.试判断△EFG的形状，并说明理由.18、E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.19、如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD.