数列求和的各种方法

1数列求和的方法教学目标1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．教学内容知识梳理1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝21naan＝na1＋dnn21.②等比数列的前n项和公式(Ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(Ⅱ)当q≠1时，Sn＝qqan111＝a1－anq1－q.③常见的数列的前n项和：，1+3+5+……+(2n－1)=，等(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(5)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n项和，其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.123……+n=(1)2nn2n2222123……+n=(1)(21)6nnn3333123……+n=2(1)2nn22.常见的裂项公式(1)11nn＝1n－1n＋1；(2)knn1＝1k(1n－1n＋k)；(3)12121nn＝12(12n－1－12n＋1)；(4)211nnn＝1221111nnnn；(5)1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．(6)设等差数列{an}的公差为d，则1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)．数列求和题型考点一公式法求和1.(2016·新课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和.2.(2013·新课标全国Ⅱ，17)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.变式训练1.(2015·四川，16)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列1an的前n项和为Tn，求Tn.32.(2014·福建，17)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.考点二错位相减法1.(山东)已知数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和Tn.2.(2015·天津，18)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝log2a2na2n－1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和.变式训练1.(2014·江西，17)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式；nanb1.nnnabbnb1(1).(2)nnnnnacbnc4(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.2.(2014·四川，19)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列anbn的前n项和Tn.3.(2015·湖北，18)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.54．(2015·山东，18)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.5.(2015·浙江，17)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋12b2＋13b3＋…＋1nbn＝bn＋1－1(n∈N*).(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.66.(2015·湖南，19)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3,n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求Sn.考点三分组求和法1.(2015·福建，17)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝22na＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.2.(2014·湖南，16)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝na2＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.7变式训练1.(2014·北京，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和.考点四裂项相消法1.(2015·新课标全国Ⅰ，17)Sn为数列{an}的前n项和．已知an0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．82.(2011·新课标全国，17)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和．3.(2015·安徽，18)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝an＋1SnSn＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.变式训练1.(2013·江西，16)正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝1（n＋1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.92.(2013·大纲全国，17)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1nan，求数列{bn}的前n项和Sn.3.在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.考点五倒序相加法已知函数f(x)＝14x＋2(x∈R)．(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝12；(2)若S＝f(12015)＋f(22015)＋…＋f(20142015)，则S＝________.变式训练1.设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f(12015)＋f(22015)＋…＋f(20142015)，则S＝________.考点六并项求和1.(2012·新课标，16)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________.102.(2014·山东，19)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝21nna，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.变式训练1.(2014·山东理，19)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.2.(2013·湖南，15)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－12n，n∈N*，则：(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.11考点七数列{|an|}的前n项和问题1.(2011·北京，11)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．变式训练1.(2013·浙江，19)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列.(1)求d，an；(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.考点八周期数列1.已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于()A．2008B．2010C．1D．0变式训练1.(2012·福建)数列{an}的通项公式an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2012等于()A.1006B.2012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1．(2014·新课标全国Ⅱ，17)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an32.2.(2015·浙江，20)已知数列{an}满足a1＝12且an＋1＝an－a2n(n∈N*)．(1)证明：1≤anan＋1≤2(n∈N*)；12(2)设数列{a2n}的前n项和为Sn，证明：12（n＋2）≤Snn≤12（n＋1）(n∈N*)．3.(2013·江西，理)正项数列{an}的前项和{an}满足：222(1)()0nnsnnsnn（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令221(2)nnbna，数列{bn}的前n项和为nT。证明：对于任意的*nN，都有564nT变式训练1.(2014·湖北，18)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．132．(2013·广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，2Snn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an74.3.(2013·天津，19)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn＋1Sn≤136(n∈N*).4.(2014·广东，19)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1（a1＋1）＋1a2（a2＋1）＋…＋1an（an＋1）＜13.14答案考点一公式法求和1.(2016·新课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1