二次型及其标准型

Ch5二次型掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念及惯性定理熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，并会用配方法化二次型为标准形了解二次型的分类，熟练掌握二次型及其对应矩阵的正定性与判别法问题的提出：在平面解析几何中讨论的有心二次曲线，若中心与坐标原点重合，则一般方程是dcybxyax222上式的左端就是x，y的一个二次齐次多项式．为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换，把方程化为只含平方项没有乘积项的标准方程，在空间解析几何中二次曲面的研究也有类似的问题．把二次齐次多项式化为只含平方项的标准方程不仅在几何问题中出现，而且在数学的其他分支以及物理、力学、工程技术、经济管理、网络计算中有着广泛的应用．二次型的概念实例：二次方程225561xyxy的图像表示怎样的曲线?正交变换法化上面方程为熟知形式平面上任一点A的新旧坐标关系为若将坐标系逆时针旋转450，得新坐标系yxoyxyxyyxyxx222245cos45sin222245sin45cos（1）将上面关系式代入方程（1），得到在新坐标系下的方程形式22281xy可见二次方程（1）所表示的曲线是椭圆,它的左边是一个二次齐次多项式，通过变量的坐标变换化简为只含有平方项的二次齐次多项式，我们叫它标准形.另一方面，（1）的左边用矩阵表示为22565(53)(35)xxyyxxyyxy5353(,)(,)3535xxyxyxyxyy（2）坐标变换关系用矩阵表示为yxyx2222222222222222)(,yxyx或（3）其中22222222是一正交矩阵.因此(3)为正交变换.将(3)代入（2）也有yxyxyxyx5335),(56522yxyx8002,2228xy1.二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半；2.通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标准形.启示二次型（quadraticform）的定义的二次齐次多项式个变量含有nxxxn,,,21nnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222),,,(nnxxaxxaxa223223222222nnxxaxa33233322nnnxa型。元二次型，简称为二次称为n定义2：nnnnnnnnnnxcxcxcyxcxcxcyxcxcxcy22112222121212121111若线性变换当jia中有复数时，为复二次型．当jia全为实数时，为实二次型．的矩阵nnnnnnnncccccccccC212222111211可逆，则称线性变换为可逆线性变换；正交，则称线性变换为正交变换。定义3：222221121),,,(nnnxdxdxdxxxf只含平方项的二次型，即形如称为二次型的标准形（或法式）。二次型的矩阵表示法：，则设jiijaa,1nijijijfaxxnnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121),,,(nnxxaxxaxaxxa223223222212212332211nnnnnnnnnxaxxaxxaxxanxxx21nnnnnnaaaaaaaaa212222111211),,,(21nxxxnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa221122221211212111),,,(21nxxxAXXT二次型的矩阵表示式任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21二次型的矩阵（显然这是实对称阵）这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．设二次型定义：),,,(21nxxxfAXXT则称对称矩阵A的秩为二次型f的秩.对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的二次型．例如，二次型232132xxxf用矩阵记号写出来就是321321300001010xxxxxxf，，300001010A二次型f的矩阵为例求实对称矩阵331301112A所对应的二次型．323121232132162232),,(xxxxxxxxxxxf二次型经可逆变换后的矩阵：),,,(21nxxxfAXXTCYX换作可逆变ACCBT).()(BrAr由上讨论可得：YACCYCYACYTTT)()()(,,合同与为二次型且BABYYBBTT例已知下面二次型的秩为2，求参数c．32312123222132166255),,(xxxxxxcxxxxxxf二次型的矩阵为fcA33351315r(A)=2007224cAc=3.定理112(,,,),()().TnTTfxxxXAXXCYfYBYBCACrArB二次型经可逆线性变换变成新变元的二次型它的矩阵且正交变换化二次型为标准形：问题1：标准形的矩阵=？ndd1将二次型化为标准形实际上是什么问题？.,为对角阵使找可逆阵ACCCT问题3：二次型能否化为标准形？能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。问题2：定理2使总有正交变换对实二次型,,QYXAXXfTYYYAQQYQYAQYAXXfTTTTT)()()(2222211nnyyy的特征值。的矩阵为Afnn,,,11证明因为A是实对称阵，故总有正交矩阵Q，使Q-1AQ=将x=Qy代入二次型，得f2211nnyyf＝(Qy)TA(Qy)＝yTQTAQy=yT(QTAQ)y=yTy=其中是f的矩阵A的特征值n，，，21.将二次型化为标准形的一般步骤：(i)写出二次型的矩阵A；;,,,)(21mAii的所有相异的特征值求出.),,,2,1(,,,)(121nrmiriiimiiiriiiii由性质知；征向量个线性无关的特，求出对应的对每一个重特征值的特征向量。它们仍为属于，；先正交化再单位化为；个线性无关的特征向量所对应的每一个重特征值用施密特正交化方法将iiriiiriiiimimirivii),,2,1(,,,),,2,1(,,,)(2121为对角阵。此时即为所求的正交方阵。，则阶方阵一个向量作为列向量，排成将上面求得的正交单位AQQAQQQQnvT1)(,)(QYXvi作正交变换YYYAQQYQYAQYAXXfTTTTT)()()(形即可将二次型化为标准例求一个正交变换x=Qy，化二次型为标准形22212312132322448fxxxxxxxxx解二次型的矩阵242422221A，2)2)(7(242422221EA27321，特征多项式,A的特征值710)7(xEA当时，解方程组，由00011021015424522287EA2211111232得基础解系单位化即得.232(2)0AEx当时，解方程组，由0000002214424422212EA23221001，得基础解系23()，不正交正交化0122254251012541022223233TT单位化222211503214355，正交变换1223535214353525033yx，标准形222123722fxxx.323121232221222xxxxxbxxaxxf23224yyfba，已知二次型经过正交变换化成了标准形求的值和正交矩阵Q．例f的矩阵A及标准形的矩阵分别为410111111，abbA由题设条件，有1TQAQQAQ由于A相似于对角矩阵，故A的特征值为123014，，123.trA031114aa01det()0AE将代入特征方程,得2111(11111)0bbabb111131111A12311123612()036111236Q，，由于正交变换有保持几何形状不变等许多优良性质，所以用正交变换化二次型为标准形是一种常用的方法．2221231231323(,,).442fxxxxxcxxxxx设二次例型的秩为。?1),,(.3;.2;.1321是什么曲面型化为标准形求一可逆变换将该二次求参数xxxfc244),,(3231232221321的秩为由xxxxcxxxxxxf8c232231)2()2(xxxx3231232221321448),,(xxxxxxxxxxf2221yy3332231122xyxxyxxy3332231122yxyyxyyx100210201C,2的秩为系数矩阵A。的特征值为由9,1,00321AEA化为在正交变换下，可将1f192322yy为椭圆柱面。并求可逆变换矩阵。准形用配方法化二次型为标例,:132212322213214252),,(:xxxxxxxxxxf解32232221214522xxxxxxx）（32232222145xxxxxx）（232322212xxxxx）（）（232221yyy333222112xyxxyxxy33322321122yxyyxyyyx32212322213214252),,(xxxxxxxxxxf100210211C用配方法化二次型为标准形的方法用配方法化下列二次型为标准形，并求所用的可逆线性变换．323121622xxxxxxff解：因为中只有混合项，没有平方项，故要先作一个辅助变换使其出现平方项，然后按例1的方式进行配方．11221233xyyxyyxy令112233110110001xyxyxy即则原二次型化为2222211322313232324282()228fyyyyyyyyyyyy222132332()2(2)6yy