高等代数复习提纲

高等代数复习提纲一．多项式1.带余除法—-辗转相除法-1ufvg的运用2.不可约多项式，标准分解式，特别是实数域和复数域情形。3.根与标准分解式（复数域），重因式判定。4.有理根计算。Eisenstein判别法变形运用。二．行列式基本性质与算法，行列式仅是后继高代内容的研究工具。三．线性方程组核心内容。线性相关性判定及线性组合方式计算是两个核心概念。1.消元法：初等行变换是代数最基本方法。2.向量组线性相关性概念，秩的计算，矩阵非零r级子式计算，极大无关组的求法。3.方程组三种等价形式的运用。4.线性方程组有解判别定理与向量组秩关系。5.解的结构与极大无关组。四．矩阵1.矩阵乘积的秩。2.逆矩阵计算3.初等变换与初等矩阵：左乘变行，右乘变列。4.分块的思想：与矩阵乘积，方程组关系等。五．二次型1.二次型几何意义。2.二次型矩阵，标准型计算。合同概念。3.规范形几何意义。特别是实二次型。4.正定性的判定。与向量内积关系等：例如：()();TrArAATAA正定当且仅当0AX只有零解，其中A不必是方阵。六线性空间1.线性空间定义。2.基（维数），坐标，同构.nVP3.向量组线性相关性判定同构坐标向量组相关性线性方程组。4.子空间的交与和基的计算，维数公式。5.直和：交为{0}.七．线性变换1.线性变换矩阵表示：线性变换=矩阵（基固定），这一相等保持线性关系和乘积，从而一切关于线性变换问题完全等价于一个矩阵问题。2.基变换前后矩阵相似。3.特征值，特征向量的计算和性质。注意特征向量和特征向量坐标的区别：首先计算的是特征向量坐标！4.可对角化判定。值域与核的基的计算，“维数公式“。八．矩阵1.初等变换注意事项。2.标准型计算：简便算法。3.行列式因子，不变因子，初等因子，Jordan块之间对应关系。九．欧氏空间1.定义和基本性质。2.标准正交基。3.Schmidt正交化方法。4.正交矩阵，正交变换。5.实对称矩阵标准型5.正交补。6.内射影计算。7.同构.nVR附注：特征值特征向量基本性质：1.A和()fA特征值。如A和EA。2.A和1BPAP特征向量关系；特别是和Jordan标准型以及可对角化情形。3.可逆等价于0不是特征值。3.Jordan标准型对角线上元素为全部特征值；实对称矩阵正交化标准型就是Jordan标准型。这一结论对相似可对角化矩阵也成立。幂零矩阵：和Jordan标准型联系。参考p320.例1.参见p327，补充4.可逆变换对应可逆矩阵；矩阵（线性变换）可逆充要条件：0非特征值；逆的特征值为原矩阵特征值逆。例2.,EABEBA可逆等价。例3.1BPAP特征向量关系：.A例4.,()AfA特征值联系，特征向量联系：();.f