考研数学知识点总结

1考研数学考点与题型归类分析总结1高数部分1.1高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则00型和型直接用洛必达法则0、0、1型先转化为00型或型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sinlim0xxx、exxx10)1(lim、exxx)1(1lim；4.夹逼定理。1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第三章《不定积分》提醒：不定积分CxFdxxf)()(中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分dxxf)(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是CxFdxxf)()(中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于aadxxf)(型定积分，若f(x)是奇函数则有aadxxf)(=0；若f(x)为偶函数则有aadxxf)(=2adxxf0)(；对于20)(dxxf型积分，f(x)一般含三角函数，此时用xt2的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利2用变量替换x=-u和利用性质0aa奇函数、aaa02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式AE、(AB)C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB)M等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(AB)M，因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通；2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AB)C，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。反方向入手证明时也会遇到同样的问题。通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。so，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(CDE)F再倒推想到(AB)C、AE就可以证明了。如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：3条件欲证结论可用定理A关于闭区间上的连续函数，常常是只有连续性已知存在一个满足某个式子介值定理（结论部分为：存在一个使得kf)(）零值定理（结论部分为：存在一个使得0)(f）B条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导存在一个满足0)()(nf费马定理（结论部分为：0)(0xf）罗尔定理（结论部分为：存在一个使得0)(f）C存在一个满足kfn)()(拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个使得abafbff)()()(）柯西中值定理（结论部分为：存在一个使得)()()()()()(agbgafbfgf）另还常用构造辅助函数法，转化为费马或罗尔定理。面对这一部分的题目时，如果把欲证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处——so要“牢记定理的结论部分”。综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。1.4高数第六章《常微分方程》历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。4解题套路：“辨明类型→套用对应方法求解”先讨论一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型的方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为f(x)dx=f(y)dy的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程0)()()()(2211dyygxfdxygxf变形为dxxfxf)()(21=-dyygyg)()(12，再积分求解齐次方程)(xyfy做变量替换xyu，则y化为dxduxu原方程就化为关于xu和的可分离变量方程，变形积分即可解对于一阶线性方程)()(xqyxpyyCepxdx（epxdxqxdx+C）全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy因为其有条件xNyM，而且解题时直接套用通解公式xxdxyxM0),(0yyCdyyxN0),(.所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于)()(xfyn型方程，就是先把)1(ny当作未知函数Z，则Zyn)(原方程就化为dxxfdz)(的一阶方程形式，积分即得；再对)2(ny、)3(ny依次做上述处理即可求解；),(yxfy叫不显含y的二阶方程，解法是通过变量替换py、py(p为x的函数)将原方程化为一阶方程；),(yyfy叫不显含x的二阶方程，变量替换也是令py（但此中的p为y的函数），则pppydydpdxdydydp，也可化为一阶形式。所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换uxy”，“求解贝努利方程)()(xqyxpyny就用变量替换nyz1”一样，在这里也要记住“求解不显含y的二阶方程就用变量替换py、py”、“求解不显含x的二阶方程就用变量替换py、ppy”。大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理5与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：若)(1xy、)(2xy是齐次方程0)()(yxqyxpy的两个线性无关的特解，则该齐次方程的通解为)()()(2211xycxycx若齐次方程组Ax=0的基础解系有(n-r)个线性无关的解向量，则齐次方程组的通解为rnrnykykykx2211非齐次方程)()()(xfyxqyxpy的通解为)()()(12211xyxycxycy，其中)(1xy是非齐次方程的一个特解，)()(2211xycxyc是对应齐次方程0)()(yxqyxpy的通解非齐次方程组Ax=b的一个通解等于Ax=b的一个特解与其导出组齐次方程Ax=0的通解之和若非齐次方程有两个特解)(1xy)(2xy，则对应齐次方程的一个解为)()()(21xyxyxy若1r、2r是方程组Ax=b的两个特解，则(1r-2r)是其对应齐次方程组Ax=0的解可以说本章难就难在记忆量大上。1.5高数第七章《一元微积分的应用》本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分dttfxa)(单独分离到方程的一端形成“dttfxa)(＝∽”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。对于导数应用，有以下一些小知识点：1.利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点：A.极值的定义是：对于0x的邻域内异于0x的任一点都有)(xf＞)(0xf或)(xf＜)(0xf,注意是＞或＜而不是≥或≤；B.极值点包括图1、图2两种可能，6所以只有在)(xf在0x处可导且在0x处取极值时才有0)(xf。讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理（结论部分为0)(f）、罗尔定理（结论部分为0)(f）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。2.理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A.若函数)(xf在区间I上的0)(xf，则)(xf在I上是凸的；若)(xf在I上的0)(xf，则)(xf在I上是凹的；B.若)(xf在点0x处有0)(xf且0)(0xf，则当0)(0xf时)(0xf为极大值，当0)(0xf时)(0xf为极小值。其中，A是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，)(xf是)(xf的变化率，)(xf是)(xf的变化率。0)(xf可以说明函数是增函数；0)(xf可以说明函数)(xf的变化率在区间I上是递减的，包括以下两种可能：同样，0)(xf也只有两种对应图像：7所以，当0)(xf时，对应或的函数图像，是凸的；当0)(xf时，对应或的函数图像，是凹的。相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“0)(xf且0)(0xf”，这从图像上也很容易理解：满足0)(xf的图像必是凸的，即或，当0)(xf且0)(0xf时不就一定是的情况吗。对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：求平面图形面积dxxfsba)(求旋转体体积（可用微元法也可用公式）绕x轴旋转体的体积dxxfVxba)(2，绕y轴旋转体得体积dxxxfVyba)(2绕x轴旋转体的体积dxxfxfVxba)]()([2122，绕y轴旋转体得体积dxxfxfxVyba)]()([212已知平行截面面积求立体体积dxxsVba)(求平面曲线的弧长dxylba2)(181.6高数第八章《无穷级数》本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：1.已知级数na2收敛，判断级数2||nan的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式)(221221||