三角形证明题集锦

八年级数学（上）几何证明练习题1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。RQDCABP2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。EFDCABEFDCAB3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA。MNDEBCA4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．ABCDEP图⑴5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。ABCOMN6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。几何证明习题答案1.连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。2.作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90°∴∠CAG=∠BAG=45°∵∠BAC=90°AC=AB∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG∵AE⊥BD∴∠ABE+∠BAE=90°∵∠CAF+∠BAE=90°∠CAF=∠ABE∵AC=AB∴△ACF≌△BAG∴CF=AG∵∠C=∠DAG=45°CD=AD∴△CDF≌△ADG∴∠CDF=∠ADB3.易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°4.∵BPCD分别平分角∠ABC和∠ACB∴∠DBP=∠PBC∠ECP=∠PCB∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∠EPC=∠PCB∴DP=DPEP=EC∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴DE-DB=EC5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；（2）△OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO中，AN=BM，∠NAO=∠B，AO=BO，∴△NAO≌△MBO，∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点，∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°，∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．6.延长CD到F，使DF=BC，连结EF∵AE=BD∴AE=CF∵△ABC为正三角形∴BE=BF∠B=60°∴△EBF为=等边三角形∴角F=60°EF=EB在△EBC和△EFD中EB=EF（已证）∠B=∠F（已证）BC=DF（已作）∴△EBC≌△EFD（SAS）∴EC=ED7.∵DE⊥BC∴∠DEB=90∵BD平分∠ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中∠A=∠DEBBD=BD∠ABD=∠DBE∴直角三角形ABD全等直角三角形DBE∴BE=ABAD=DE∵AB=AC∴BE+CE=AC+CE△DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。（2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。（3）求证：AD＝AB+CD练2（6分题）：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD例3（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD＝AB+CD练4（6分题）：如图，已知在△ABC中，AB=CD，∠BDA=∠BAD，AE为△ABD的BD边上的中线，求证：AC=2AE练2（6分题）：如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于F，BE平分∠ABC，E为AD的中点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简写成“等角对等边”）。例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，且∠AOB=∠COD。（1）求证：CA=BD（2）若将△OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由。练4（9分压轴题）：如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。①②③练5（9分题）：已知，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB与E，DF⊥AC与F。（1）求证：AD⊥EF（2）如图②、③，当有一动点G在AD所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时EF⊥AD的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。①②③练6（9分压轴题）：如图①，一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起。现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点O也是BD的中点）顺时针方向旋转。（1）如图②，当EF与AB相交于点O，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想。（2）将三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时（1）中的猜想还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。①②③例7（6分题）：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气。（1）泵站C修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（2）请你在（1）的基础上，过A点作AD⊥l，并连接DB，求证：AD+DB＞AC+CB。练8（6分题）：如图，已知牧马营地M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）练9（6分题）：如图，E、F为△ABC的边AB、AC上的两个定点，在BC上求作一点D，使△DEF的周长最短。例10（6分题）：如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若△ABC的周长为10，BC=4，求△ACE的周长。练11（6分题）：如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，AC=5，△ABD的周长为13，求△ABC的周长。练12（6分题）：如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，DE垂直平分AB，求△BEC的周长。例13（6分题）：如图，已知△ABC，请你用尺规作图画出△ABC关于直线l的对称图形。练14（6分题）：如图，已知△ABC，请你用尺规作图画出△ABC关于直线l的对称图形。例15（7分题）：已知，△ABC和△ECD均为等边三角形，且B、C、D三点在同一条直线上，求证：（1）BE=AD（2）FG∥BD练16（7分题）：已知△ABC和△ECD均为等边三角形，求证：AD=BE练17（7分题）：如图，已知△ABC和△ECD均为等边三角形，求证：BE=AD练18（7分题）：如图，已知四边形ABCD和ECFG均为正方形，求证：（1）DF=BE（2）DF⊥BE练19（7分题）：如图，已知△ADC和△BDE均为等腰直角三角形，求证：（1）BC=AE（2）BC⊥AE练20（7分题）：已知△ABC和△EDC均为等腰直角三角形，求证（1）AE=BD。（2）AE⊥BD。学法指津•角平分线加平行线构建等腰三角形。•学习本课内容，要综合运用“等腰三角形三线合一”、“等边对等角”、“等角对等边”及“等边三角形三条边相等、三个内角相等且三个内角都是60°”等定理，才能做出复杂图形题目。学法指津•全等三角形的复杂图形解题思路与基本图形的解题思路一致。解答复杂图形，要把复杂图形分解成基本图形进行解答，就会觉得非常简单了。•图形越复杂，条件越多，做起来越简单，因为不用做辅助线；图形越简单，条件越少，做起来越难，往往要通过画辅助线来创造条件解决。•解决复杂图形题目时，一般把已知条件在图中描出来或标出来，这样有利于整理条件。小结证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换。