最新2019版高考数学大一轮复习-第九章第3节-圆的方程教案-文-新人教A版

1第3节圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[常用结论与微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－24AF0.()解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜14或m＞1时表示圆.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.a＝±1解析因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)24，所以－1a1.答案A3.(2018·长春质检)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是()A.(x－3)2＋(y－1)2＝4B.(x－2)2＋(y－2)2＝4C.x2＋(y－2)2＝4D.(x－1)2＋(y－3)2＝4解析圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2，0)关于直线y＝33x对称的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.答案D4.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.答案(－2，－4)55.(必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________.3解析设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10考点一圆的方程【例1】(1)(一题多解)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________.(2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________.解析(1)法一由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②联立①②，解得x＝3，y＝0，所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故（4－a）2＋（1－b）2＝r2，（2－a）2＋（1－b）2＝r2，又∵b－1a－2＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝2，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，将P，Q两点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③4设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】(1)(2018·兰州诊断)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为()A.(x－1)2＋(y＋2)2＝4B.(x－2)2＋(y＋2)2＝2C.(x－2)2＋(y＋2)2＝4D.(x－22)2(y＋22)2＝4(2)(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析(1)设圆心坐标为(2，－a)(a0)，则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝|2－a－22|2＝2，∴a＝2，∴该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.(2)由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，令y＝0，解得x＝32，圆心为32，0，半径为52.∴圆的标准方程为x－322＋y2＝254.答案(1)C(2)x－322＋y2＝254考点二与圆有关的最值问题5【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.【训练2】设点P是函数y＝－4－（x－1）2图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________.6解析函数y＝－4－（x－1）2的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则x＝2a，y＝a－3，得y＝x2－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示，由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝52，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是5－2.答案5－2考点三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42.从而x0＝x＋3，y0＝y－4.又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点－95，125和－215，285(点P在直线OM上时的情况).规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】(2018·郑州模拟)已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.(1)试求M点的轨迹C2的方程；7(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.解(1)设M(x，y)，B(x′，y′)，则由题意可得x＝x′＋42，y＝y′2，解得x′＝2x－4，y′＝2y，∵点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上，∴(2x－4)2＋(2y－4)2＝16，即(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴M点的轨迹C2的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由方程组（x－2）2＋（y－2）2＝4，x2＋（y－4）2＝16，得直线CD的方程为x－y－1＝0，圆C1的圆心C1(0，4)到直线CD的距离d＝|－4－1|2＝522，又圆C1的半径为4，∴线段CD的长为242－5222＝14.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝2C.x2＋y2＝1D.x2＋y2＝4解析AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案A2.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－2)∪23，＋∞B.－23，0C.(－2，0)D.－2，238解析方程为x＋a22＋(y＋a)2＝1－a－3a24表示圆，则1－a－3a24＞0，解得－2＜a＜23.答案D3.(2018·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A.(x－1)2＋(y－2)2＝2B.(x－1)2＋(y－2)2＝2C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝4D.(x－1)2＋(y－2)2＝4解析由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.答案A4.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点