[推荐学习]高考数学总复习(讲+练+测)：-专题9.3-圆的方程(讲)

[k12]最新K12专题9.3圆的方程【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测圆的方程掌握圆的标准方程与一般方程.2016•浙江文,10.1.考查圆的标准方程、普通方程的互化..2.待定系数法求圆的方程．3.圆的综合问题.4.备考重点：(1)掌握两种形式圆的方程；(2)掌握待定系数法.【知识清单】1求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：222()()xaybr．(2)方程222()()xaybr表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：220xyDxEyF.这个方程就叫做圆的一般方程．(2)对方程：220xyDxEyF.①若2240DEF，则方程表示以(2D，)2E为圆心,FED42122为半径的圆；②若0422FED，则方程只表示一个点(2D，)2E；③若0422FED，则方程不表示任何图形．4.点00()Axy，与⊙C的位置关系(1)|AC|r⇔点A在圆内⇔22200()()xaybr－＋－；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔22200()()xaybr－＋－；[k12]最新K12(3)|AC|r⇔点A在圆外⇔22200()()xaybr－＋－.对点练习：【2016高考浙江文数】已知aR，方程222(2)4850axayxya表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】(2,4)；5．2圆的方程综合应用1.圆的标准方程为：222()()xaybr2．圆的一般方程．：220xyDxEyF（2240DEF）.3.点000(,)Pxy到直线:0lAxByC的距离：0022AxByCdAB.对点练习：【2017天津，文12】设抛物线24yx的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若120FAC，则圆的方程为.【答案】22(1)(3)1xy【解析】【考点深度剖析】高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判[k12]最新K12断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.【重点难点突破】考点1求圆的方程【1-1】【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点(0,5)M在圆C上，且圆心到直线20xy的距离为455，则圆C的方程为__________.【答案】22(2)9.xy【1-2】已知圆心为C的圆经过点(1,1)A和(2,2)B,且圆心在:10lxy上,求圆心为C的圆的标准方程．【答案】22(3)(2)25xy【解析】（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为：222()()xaybr，则由题意得：222222(1)(1)(2)(2)10abrabrab①②③.②－①得：330ab…………………………………………④⑤⑥③－④得：2b，代入④得：3a.将3,2ab代入①得：225r.所以所求圆的标准方程为：22(3)(2)25xy.法二、由点斜式可得线段AB的垂直平分线的方程为：330xy.因为圆心在:10lxy上，所以线段AB的垂直平分线与直线:10lxy的交点就是圆心.解方程组33010xyxy得32xy，所以圆心为(3,2)C.圆的半径22(31)(21)5rAC，所以所求圆的标准方程为：22(3)(2)25xy.【1-3】ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),ABC求它的外接圆的方程．【答案】22860xyxy[k12]最新K12【领悟技法】1.求圆的方程，采用待定系数法：①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的垂直平分线上．【触类旁通】【变式一】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】圆：，圆心为（-1,1）半径为1，圆与圆关于直线对称，则先找（-1,1）关于直线的对称点为（2，-2），所以圆的圆心为（2，-2），半径为1，所以圆为，故选B.【变式二】求圆心在直线:0lxy上，且过点(4,0),(0,2)AB的圆的方程．【答案】22(3)(3)10xy[k12]最新K12解方程组2300xyxy得33xy，所以圆心为(3,3)C.圆的半径22(34)(30)10rAC，所以所求圆的标准方程为：22(3)(3)10xy．【综合点评】求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法．考点2圆的方程综合应用【2-1】【2017届辽宁省辽南协作校一模】圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（）A.18B.6C.52D.42【答案】C【解析】圆的方程即：222232xy，圆心到直线的距离为：22822322，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为322252，综上可得：圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是52052.本题选择C选项.【2-2】P(xy)，在圆22C(x1)(y1)1：－＋－＝上移动，试求22xy＋的最小值．【答案】322【解析】由已知C(11)，得OC＝2，则minOP21＝－，即(22xy)min21＝－.所以22xy＋的最小值为221)322(－.【2-3】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线[k12]最新K12:20lxy的距离为55，求该圆的方程．【答案】22(1)(1)2xy或22(1)(1)2xy【领悟技法】1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.【触类旁通】【变式一】【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知圆的圆心坐标为，则（）A.8B.16C.12D.13【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即.故选D.【变式二】一束光线从点(1,1)A出发，经x轴反射到圆22:(2)(3)1Cxy上的最短路径是.【答案】4[k12]最新K12【综合点评】在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题.【易错试题常警惕】易错典例：一条直线过点3(3,)2P，且圆2522yx的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（）A.3xB.233yx或C.015433yxx或D.01543yx易错分析：忽视斜率不存在而致误．正确解析：圆2522yx的圆心为原点，显然原点到直线3x的距离为3.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：3(3)2ykx即3302kxyk.由点到直线的距离公式得：23003231kk，平方得：34k，所以直线的方程为33(3)24yx即34150xx.综上知，选C.温馨提醒：求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：[k12]最新K12【典例】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上月考三】已知圆方程22240xyxym.（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线240xy相交于MN，两点，且OMON（O为坐标原点），求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.【答案】(1)5m；(2)85；（3）224816555xy.【解析】试题解析：（1）由22240xyxym，得：24DEFm，，，2242040DEFm，5m；（2）由题意22240240xyxyxym，把42xy代入22240xyxym，得251680yym，12165yy，1285myy，∵OMON得出：12120xxyy，∴121258160yyyy，∴85m；（3）圆心为ab，，1212482525xxyyab，，半径455r，圆的方程224816555xy.