数列概念及其表示

2.1数列概念和表示1.数列的概念数列是指按一定顺序排列的一列数，数列中的数与顺序有关系，每一项都对应着一个序号即项数，一般可表示为a1，a2，…或记为{an}．注意判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同．新课讲解2．数列的分类按数列中项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列，其中项数是有限项的数列为有穷数列，其定义域为{1,2,3，…，n}；项数为无限项的数列为无穷数列，其定义域为{1,2,3，…，n，…}．按数列中相邻两项间的大小关系可分为递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．注意判断一个数列属哪一类型的数列，要搞清概念，利用各类数列的要求判断．3．通项公式如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中的n就可以求出数列中的指定项，如果给出数列中的前几项，也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立，并不知道．注意一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数列不存在通项公式．4．递推公式递推公式是给出数列的一种重要方法，是指已知数列{an}的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出a1或a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项．注意并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存在递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几项寻求递推关系，递推公式可能不止一个.5．求和公式nnaaaS...21)2()1(11nSSnSannn题型一探求数列的通项公式例1.分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．(1)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(2)－12，16，－112，120，…；(3)0.6,0.66,0.666,0.6666，…；(4)5,4,5,4，….例题讲解解:(1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5，恰比项数多1.分子中的22,32,42,52恰是分母之平方，－1不变，故它的一个通项公式为an＝n＋12－1n＋1.(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(－1)n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，则它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋.(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,0.9999＝1－0.0001，而0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，∴它的一个通项公式为an＝32(1－10－n)(4)这个数列前4项构成一个摆动数列，奇数项是5，偶数项是4.所以，它的一个通项公式为2)1(141nna2)1(91n或an＝5，n为奇数，4，n为偶数.1.观察下面数列的特点，用适当的数填空：(1)1,4,9，()，25,36；(2)1，13，()，17，19；(3)－12×1，12×2，()，12×4，－12×5；(4)12，－12，38，()，532，()；(5)1，22，12，()，14.跟踪练习答案(1)16(2)15(3)－12×3(4)－14－332(5)24题型二数列通项公式的应用例2.已知数列2，5，22，11，…(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)问42是否是该数列的项？10呢？例题讲解解：(1)原数列可写为2，5，8，11，…，不难发现，“”下面的数值后一项比前一项大3，故通项公式可写为an＝2＋n－1×3＝3n－1，即an＝3n－1.a20＝3×20－1＝59.(2)令42＝3n－1，即32＝3n－1，解得n＝11，∴42是数列的第11项．再令10＝3n－1，即3n－1＝100，解得n＝1013∉N*，∴10不是该数列的项．1.已知数列{an}的通项公式an＝2n2－n.(1)写出这个数列的第4项和第6项；(2)试问45是否是{an}中的项，3是否是{an}中的项？跟踪练习解：(1)a4＝2×42－4＝28，a6＝2×62－6＝66.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，得n＝5，n＝－92(舍)，故45是此数列中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，此方程不存在正整数解，故3不是此数列中的项．题型三数列递归公式的应用例3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝anan＋1构造一个新数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．例题讲解解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.∴数列{an}的前5项依次为1,2,3,5,8.(2)∵bn＝anan＋1，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝a1a2＝12，b2＝a2a3＝23，b3＝a3a4＝35，b4＝a4a5＝58.即数列{bn}的前4项依次为12，23，35，58.1.已知数列{an}分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；(2)a1＝1，an＋1＝2anan＋2.跟踪练习解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1，a3＝a2＋(2×2－1)＝4，a4＝a3＋(2×3－1)＝9，a5＝a4＋(2×4－1)＝16，∴它的前五项为0,1,4,9,16，此数列又可写成(1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，…故该数列的一个通项公式为an＝(n－1)2.(2)∵a1＝1，an＋1＝2anan＋2，∴a2＝23，a3＝12，a4＝25，a5＝13.它的前五项依次为1，23，12，25，13，因此该数列可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1，…故它的一个通项公式为an＝2n＋1.2.已知平面内两直线最多有2个交点，3直线最多3个交点，4直线最多6个交点，依次记为12a，33a，64a，（1）请写出na与1na的递归关系；（2）求8a；（3）你能求出na？易错点：对于数列{an}，若第n项最大，则an≥an－1，an≥an＋1，而不是anan－1，anan＋1.题型四单调性分析例4.已知an＝9n·n＋110n(n∈N*)，则数列{an}中有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由．[错解]设an最大(n≥2)，则anan－1，anan＋1，即9n·n＋110n9n－1·n10n－1，9n·n＋110n9n＋1·n＋210n＋1，例题讲解解得8n9.又因为n∈N*，所以n不存在，故数列{an}中没有最大项．[错因分析]若an最大(n≥2)，则应有an≥an－1，an≥an＋1，而不是anan－1，anan＋1，因为有可能an与an－1或an＋1同时最大．[正解]设an最大(n≥2)，则an≥an－1，an≥an＋1，即9n·n＋110n≥9n－1·n10n－1，9n·n＋110n≥9n＋1·n＋210n＋1，解得8≤n≤9.又因为n∈N*，所以n＝8或9.故数列{an}的最大项为a8＝a9＝99108.跟踪练习1.已知函数)10(,4loglog)(2xxxfx，数列{an}满足nfna2)2((1)求an；(2)判断数列{an}的单调性。2.数列{an}满足12knnan是增数列，求k的取值范围。3.数列{an}满足20142013nnan，则最大项和最小项分别是__________。题型五用累加法求数列的通项公式例5.已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋1nn－1(n≥2)给出．(1)写出数列{an}的前5项；(2)求数列{an}的通项公式．例题讲解解：(1)a1＝1；a2＝a1＋12×1＝32；a3＝a2＋13×2＝53；a4＝a3＋14×3＝74；a5＝a4＋15×4＝95.(2)由an＝an－1＋)1(1nn得an－an－1＝)1(1nn(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝)1(1nn＋)2)(1(1nn＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n－1－1n)＋(1n－2－1n－1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1＝2－1n＝2n－1n(n∈N*)．1.若把本例中“an＝an－1＋1nn－1(n≥2)”改为“an＝an－1＋1n－1n＋1(n≥2)”其他不变，如何求数列的前5项与通项公式an?跟踪练习解：∵a1＝1，an＝an－1＋1n－1n＋1(n≥2)，∴a2＝a1＋11×3＝43；a3＝a2＋12×4＝3524；a4＝a3＋13×5＝6140；a5＝a4＋14×6＝4730.又an－an－1＝1n－1n＋1＝12(1n－1－1n＋1)(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝12[(1n－1－1n＋1)＋(1n－2－1n)＋…＋(12－14)＋(1－13)]＋1＝12(－1n＋1－1n＋12＋1)＋1＝7n2＋3n－24n2＋4n(n∈N*)．题型六用累乘法求数列的通项公式例6.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明．例题讲解解：由a1＝2，an＋1＝2an，得a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23，a4＝2a3＝2·23＝24.猜想an＝2n(n∈N*)．证明如下：由a1＝2，an＋1＝2an，得anan－1＝an－1an－2＝…＝a3a2＝a2a1＝2(n≥2)．∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝2·2·…·2·2＝2n.又当n＝1时，a1＝21＝2成立，∴an＝2n(n∈N*)．1.设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an＝0，求它的通项公式．跟踪练习解：由已知得an＋1an＝nn＋1，∴当n≥2时，a2a1＝12，a3a2＝23，a4a3＝34，…，anan－1＝n－1n.∴a2a1·a3a2·a4a3…anan－1＝12×23×34×·…·×n－1n＝1n.即ana1＝1n.∵a1＝1，∴an＝1n.又∵当n＝1时，a1＝11＝1成立，∴an＝1n(n∈N*)．题型七数列的周期性例7.已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an(n∈N*)，则a2009＝________，a2014＝________.例题讲解解：a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.∴应填1,0.[答案]101.在数列{an}中，若a1＝12，an＝11－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2007的值为()A．－1B.12C．1D．2跟踪练习解：a1＝12，a2＝2，a3＝－1，a4＝12，a5＝2，a6＝－1，…，归纳得an＋3＝an.∴a2007＝a3×669＝a3＝－1.答案：A题型八数列求和公式的应用例8.已知数列{an}满足：Sn＝n2-2n+2，求an。例题讲解例9.已知数列{an}满足：an＝)1(1nn，求Sn。跟踪练习1.已知函数)0(12)(2xxxf数列{an}满足：a1＝1，)2(),(1nafann（1）写出数列{an}的前5项，并猜想其通项公式；（2）若2112aab，32222aab，…，12nnnnaab，试求数列{an}得前n项和nS