函数的性质单调性

1函数的性质----单调性知能要点：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图象是否具有某种对称性？2、从上面的观察分析，能得出什么结论？不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。3、增减函数的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；同理减函数相反，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。*注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)．4、函数的单调性如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。5、判断函数单调性（1）根据图像判断函数的单调性（增或减函数）：e.g：如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？（2）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性：①任取x1，x2∈D，且x1x2；yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-12②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．6、复合函数的单调性：复合函数))((xgfy在区间),(ba具有单调性的规律见下表：)(ufy增↗减↘)(xgu增↗减↘增↗减↘))((xgfy增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。知能训练1.下列函数中,在区间0,1上是增函数的是（）A.xyB.xy3C.xy1D.42xy2.函数1yx的单调区间是（）A．（-，+）B.（-，0）（1，，）C.（-，1）、（1，）D.（-，1）（1，）3.下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是()A．32yxB．3yxC．245yxxD．23810yxx4．函数223yxx的增区间是（）。A．[-3，-1]B．[-1,1]C．113a(,3)D．(1,)5.判断一次函数,bkxy反比例函数xky，二次函数cbxaxy2的单调性.36．证明函数xxxf2)(在),2(上是增函数．解析：证明：任取2121),,2(,xxxx且,设元)2()2()()(221121xxxxxfxf求差)22()(2121xxxx变形211221)(2)(xxxxxx)21)((2121xxxx2121212)(xxxxxx,,221xx断号∴,2,02121xxxx∴,0)()(21xfxf即),()(21xfxf∴函数xxxf2)(在),2(上是增函数．定论7．函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0，证明f(x)在（-∞,+∞)上为增函数。8.已知函数)1(12)(axxaxfx，证明)(xf在),1(上是增函数。