各种等腰三角形难题

各类等腰三角形难题例1.在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:∠BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°.则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.所以,∠DEB=30°.例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.试求:∠DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。思路点拨：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以∠1＝∠ABC又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）例5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．思路点拨：根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，∴∠FBE=∠CBE，又BE=BE，∵BE⊥CF，∴∠BEF=∠BEC，∴△BFE≌△BCE（ASA），∴CE=EF，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠FBE=∠CBE=22.5°，∴∠F=∠ADB=67.5°，又AB=AC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD=CF，∴BD=2CE．例6.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长思路点拨根据题意先证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得BD=OD，CE=EO，根据已知△ADE的周长为10cm，再加上BC的长即可得△ABC的周长．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴BD=OD，CE=EO（等角对等边）∵AD+DE+AE=10cm，∴AD+BD+CE+EA=10cm，又BC的长为5cm，所以△ABC的周长是：AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm．例7.三角形ABC，AB=AC，边BC的中点为D（1）画图：作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上（2）你所作的等边三角形DEF的边EF与BC平行吗？理由是什么？（3）是否可能作一个等边三角形DEF，使它的边EF与BC不平行？如有可能，指出角A的度数；如不可能，说出理由解：⑴见图作法：在三角形ABC内部作∠BDE＝∠CDF＝60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF则三角形DEF就是所要求作的等边三角形⑵平行。理由：因为AB＝AC所以∠B＝∠C因为D是BC中点所以BD＝CD因为∠BDE＝∠CDF＝60度所以△BDE≌△CDF（ASA），∠EDF＝60度所以DE＝DF所以三角形DEF是等边三角形所以∠BDE＝∠DEF＝60度所以EF//BC⑶可能。∠A＝120度证明要点：因为EF与BC不平行，所以AE≠AF，不妨设AE＞AF过F作FG//BC，交AB于G，连接DG容易证明△BDG≌△CDF所以DG＝DF＝DE，∠BGD＝∠CFD由DE＝DG得∠DEG＝∠DGE所以∠DEG＝∠CFD所以A、E、D、F四点共圆所以∠A＋∠EDF＝180度所以∠A＝120度例8.三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，连结DE，已知顶角等于20°,∠CBD=60°,∠ECB=50°.求∠ADE的度数解：以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于G，连接DG，则：BG=BC，∠BGC=∠ACB；已知：AB=AC，∠A=20°，则：∠ABC=∠ACB=80°，∠BGC=∠ACB=80°，∠GBC=20°，∠ABG=60°；已知：∠CBD=60°，则：∠ABD=20°，∠DBG=40°，∠BDG=∠BGC-∠DBG=40°，BG=DG；已知：∠ECB=50°，则：∠BRC=180°-∠ABC-∠ECB=50°；已知：圆孤，∠ABG=60°，则：BE=BC=BG=DG，△BGE为正三角形，EG=BE=BC=BG=DG，∠EGB=60°，∠DGE=180°-∠BGC-∠EGB=40°；已知：EG=DG,则：∠GED=∠EDG=(180°-∠DGE)/2=70°，∠ADE=180°-∠EDG=110°。例9.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。AD1BMCE分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝21∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝21∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以∠1＝21∠ABC又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）例10.如图，已知：ABC中，ACAB，D是BC上一点，且CADCDBAD，，求BAC的度数。ABCD分析：题中所要求的BAC在ABC中，但仅靠ACAB是无法求出来的。因此需要考虑DBAD和CADC在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：因为ACAB，所以CB因为DBAD，所以CDABB；因为CDCA，所以CDACAD（等边对等角）而DABBADC所以BDACBADC22，所以B3BAC又因为180BACCB即180B3CB所以36B即求得108BAC说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。例11.已知：如图，ABC中，ABCDACAB，于D。求证：DCB2BAC。A12DBCE3分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB的关系。证明：过点A作BCAE于E，ACAB所以BAC2121（等腰三角形的三线合一性质）因为90B1又ABCD，所以90CDB所以90B3（直角三角形两锐角互余）所以31（同角的余角相等）即DCB2BAC说明：1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB的等角等。例12．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。AEFBDC证明：因为ACAB，所以CB又因为ACDFABDE，所以90CFDBED又D是BC的中点，所以DCDB所以)AAS(CFDDEB所以CFBE，所以AFAE说明：证法二：连结AD，通过AEDAFD证明即可例13.如图，ABC中，100AACAB，，BD平分ABC。求证：BCBDAD。AD1B2EFC分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取BDBF，只需证明ADCF，考虑到21，想到在BC上截取BABE，连结DE，易得，则有FDAD，只需证明CFDE，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DEDFCF。证明一：在BC上截取BDBFBABE，，连结DE、DF在ABD和EBD中，BDBD21BEBA，，80DEF100ABEDDEAD)SAS(EBDABD，又100AACAB，40)100180(21CABC20402121而BFBD80)20180(21)2180(21BDFBFDADBDFCBFBCFCDFDEADFCDFCFDC404080CDFEFDC40C80DFEDFDE80DFEDEF，即BCBDAD例题14：如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于202，只需证明80BCEEADE1B2FC3456易证6020100180ADBEDC，120BDC，故作BDC的角平分线，则有FBDABD，进而证明DFCDEC，从而可证出80E