高等数学上册知识点

复习永不改变年轻时的梦想第1页共19页高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(xf在0x连续)()(lim00xfxfxx第一类：左右极限均存在。间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。（二）极限1、定义1）数列极限复习永不改变年轻时的梦想第2页共19页axNnNaxnnn,,,0lim2）函数极限AxfxxxAxfxx)(0,,0,0)(lim00时，当左极限：)(lim)(00xfxfxx右极限：)(lim)(00xfxfxx)()()(lim000xfxfAxfxx存在2、极限存在准则1）夹逼准则：1）)(0nnzxynnn2）azynnnnlimlimaxnnlim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。3、无穷小（大）量1）定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量。2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1)(~o;复习永不改变年轻时的梦想第3页共19页Th2limlimlim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)1sinlim0xxxb)exxxxxx)11(lim)1(lim105）无穷小代换：（0x）a)xxxxxarctan~arcsin~tan~sin~b)221~cos1xxc)xex~1（axaxln~1）d)xx~)1ln(（axxaln~)1(log）e)xx~1)1(第二章导数与微分复习永不改变年轻时的梦想第4页共19页（一）导数1、定义：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx左导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx右导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx函数)(xf在0x点可导)()(00xfxf2、几何意义：)(0xf为曲线)(xfy在点)(,00xfx处的切线的斜率。3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法。5、高阶导数复习永不改变年轻时的梦想第5页共19页1）定义：dxdydxddxyd222）Leibniz公式：nkknkknnvuCuv0)()()(（二）微分1）定义：)()()(00xoxAxfxxfy，其中A与x无关。2）可微与可导的关系：可微可导，且dxxfxxfdy)()(00第三章微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle定理：若函数)(xf满足：1）],[)(baCxf；2）),()(baDxf；3）)()(bfaf；则0)(),,(fba使.2、Lagrange中值定理：若函数)(xf满足：1）],[)(baCxf；2）),()(baDxf；则))(()()(),,(abfafbfba使.复习永不改变年轻时的梦想第6页共19页3、Cauchy中值定理：若函数)(),(xFxf满足：1）],[)(),(baCxFxf；2）),()(),(baDxFxf；3）),(,0)(baxxF则)()()()()()(),,(FfaFbFafbfba使（二）洛必达法则1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达法则！注意:如：xxxx420tancos1lim2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用洛必达法则！nnnnba2lim如：复习永不改变年轻时的梦想第7页共19页（三）Taylor公式n阶Taylor公式：10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf在0x与x之间.当00x时，成为n阶麦克劳林公式：1)1()(2)!1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(nnnnxnfxnfxfxffxf在0与x之间.常见函数的麦克劳林公式：1）12)!1(!1!211nnxxnexnxxe复习永不改变年轻时的梦想第8页共19页在0与x之间，x；2）12121753)!12(2)12(sin)!12()1(!7!5!3sinmmmxmmmxxxxxx在0与x之间，x；3）mmmxmmmxxxxx2221642)!2(22cos)!22()1(!6!4!21cos在0与x之间，x；4）111432)1)(1()1()1(432)1ln(nnnnnnxnxxxxxx在0与x之间，11x5）nxnnxxxx!)1()1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32复习永不改变年轻时的梦想第9页共19页11)!1()1)(()1(nnxnn，在0与x之间，11x.（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(baCxf，),()(baDxf，则若0)(xf，则)(xf单调增加；则若0)(xf，则)(xf单调减少。2、极值及其判定定理：a)必要条件：)(xf在0x可导，若0x为)(xf的极值点，则0)(0xf.b)第一充分条件：)(xf在0x的邻域内可导，且0)(0xf，则①若当0xx时，0)(xf，当0xx时，0)(xf，则0x为极大值点；②若当0xx时，0)(xf，当0xx时，0)(xf，则0x为极小值点；③若在0x的两侧)(xf不变号，则0x不是极值点。c)第二充分条件：)(xf在0x处二阶可导，且0)(0xf，0)(0xf，则①若0)(0xf，则0x为极大值点；②若0)(0xf，则0x为极小值点。复习永不改变年轻时的梦想第10页共19页3、凹凸性及其判断，拐点1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2(,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I上的图形是凹的；若2)()()2(,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I上的图形是凸的。2）判定定理：)(xf在],[ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则a)若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凹的；b)若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凸的。3）拐点：设)(xfy在区间I上连续，0x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy经过点))(,(00xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00xfx为曲线的拐点。（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）。（六）方程根的讨论复习永不改变年轻时的梦想第11页共19页1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性。（七）渐近线1、铅直渐近线：)(limxfax，则ax为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：bxfx)(lim，则by为一条水平渐近线；3、斜渐近线：kxxfx)(limbkxxfx])([lim存在，则bkxy为一条斜渐近线。（八）图形描绘步骤:1.确定函数)(xfy的定义域，并考察其对称性及周期性；2.求)(),(xfxf并求出)(xf及)(xf为零和不存在的点；3.列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.复习永不改变年轻时的梦想第12页共19页第四章不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数)(xF可导，且)()(xfxF，则)(xF称为)(xf的一个原函数。2、不定积分：在区间I上，函数)(xf的带有任意常数的原函数称为)(xf在区间I上的不定积分。3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）。（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：)()(d)()]([xuduufxxxf2、第二类换元法（变量代换）：)(1d)()]([)(xttttfdxxf（三）分部积分法：vduuvudv（四）有理函数积分1、“拆”；复习永不改变年轻时的梦想第13页共19页2、变量代换（三角代换、倒代换等）。第五章定积分（一）概念与性质：1、定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性质：（7条）性质7（积分中值定理）函数)(xf在区间],[ba上连续，则],[ba，使))(()(abfdxxfba（平均值：abdxxffba)()(）（二）微积分基本公式（N—L公式）1、变上限积分：设xadttfx)()(，则)()(xfx推广：)()]([)()]([)()()(xxfxxfdttfdxdxx2、N—L公式：若)(xF为)(xf的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba复习永不改变年轻时的梦想第14页共19页（三）换元法和分部积分1、换元法：tttfdxxfbad)()]([)(2、分部积分法：bababavduuvudv（四）反常积分1、无穷积分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf2、瑕积分：btatbadxxfdxxf)(lim)(（a为瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(（b为瑕点）两个重要的反常积分：1)1,11,d1ppapxxpap复习永不改变年轻时的梦想第15页共19页2)1,1,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq第六章定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：badxxfxfA)]()([122、极坐标：dA)]()([212122复习永不改变年轻时的梦想第16页共19页（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形xbxaxxfy,,),(轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：baxdxxfV)(2b)曲边梯形xbxaxxfy,,),(轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：baydxxxfV)(2（柱壳法）2、平行截面面积已知的立体：badxxAV)(（三）弧长1、直角坐标：badxxfs2)(12、参数方程：dttts22)()(3、极坐标：ds22)()(复习永不改变年轻时的梦想第17页共19页第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶