高中数学——空间向量与立体几何练习题(附答案)课件

精选空间向量练习题1.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），C33(,,0),2213D(,,0),P（0，0，2）,223E(1,,0).2（Ⅰ）证明因为3BE(0,,0)，2平面PAB的一个法向量是n0(0,1,0)，所以BE和n共线.从而BE⊥平面PAB.0又因为BE平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)解易知3PB(1,0,2),BE(0,，0），213PA(0,0,2),AD(,,0)22设nxyz是平面PBE的一个法向量，则由1(1,1,1)nPB1nBE10,0得x0y2z0,111所以30xy0z0.1222y10,x12z1.故可取n1(2,0,1).设n2(x2,y2,z2)是平面PAD的一个法向量，则由nPA2nAD20,0得0x0y2z0,22213xy0z0.22222所以z20,x23y2.故可取n2(3,1,0).于是，nn231512cosn,n.12552nn精选12故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.5精选2.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；（Ⅰ）证明取BC中点O，连结AO．△ABC为正三角形，AO⊥BC．在正三棱柱ABCABC中，平面ABC⊥平面BCC1B1，111AD⊥平面BCCB．11取BC中点11O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间1直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0)，AB1(1，2，3)，BD(2，1，0)，BA1(1，2，3)．AB1BD2200，AB1BA11430，AB⊥BD，AB1⊥BA1．1zAA1AB⊥平面A1BD．1（Ⅱ）解设平面AAD的法向量为n(x，y，z)．1FAD(1，1，3)，AA1(0，2，0)．OCDC1ynAD，n⊥AA1，⊥BB1nAD0，y0xy3z0，，xnAA10，2y0，x3z．令z1得n(3，0，1)为平面A1AD的一个法向量．由（Ⅰ）知AB⊥平面A1BD，1AB为平面1ABD的法向量．1cosn，AB1nnAB1AB13364222．二面角AA1DB的大小为arccos64．精选（Ⅲ）解由（Ⅱ），AB为平面A1BD法向量，1BC(2，0，0)，AB(1，2，3)．1点C到平面ABD的距离d1BCAB1AB122222．3.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，zACACBCDBD2,ABAD2.（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离．DOBCx⑴证明连结OCEyBODO,ABAD,AOBD.BODOBCCD，COBD．,在AOC中，由已知可得AO1,CO3.而AC2，222,AOCOACoAOC90,即AOOC.zABDOCO,∴AO平面BCD．DO(2)解以O为原点，如图建立空间直角坐标系，BC则B(1,0,0),D(1,0,0),xEy13C(0,3,0),A(0,0,1),E(,,0),BA(1,0,1),CD(1,3,0).22cosBA,CDBACDBACD24，∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为24．精选⑶解设平面ACD的法向量为n(x,y,z),则精选nAD(x,y,z)(1,0,1)0，nAC(x,y,z)(0,3,1)0∴xz03yz0，令y1,得n(3,1,3)是平面ACD的一个法向量．又(1,3,0),EC∴点E到平面ACD的距离22hECnn32177．4.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12,0,0），S（1,12,0）.⋯⋯4分（Ⅰ）111CM(1,1,),SN(,,0),22211因为CMSN00，22所以CM⊥SN⋯⋯6分（Ⅱ）1NC(,1,0),2设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，精选1xyz2则12xy0,0.令，得a=(2,1,-2).⋯⋯9分x2因为cosa,SN31122222所以SN与片面CMN所成角为45°。⋯⋯12分5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知BC1,BB12,BCC13学，，，，网，AB侧面BB1C1C，（1）求直线C1B与底面ABC所成角正切值；（2）在棱CC（不包含端点1C,C)上确定一点E的位置,1使得EAEB(要求说明理由).1（3）在（2）的条件下,若AB2，求二面角AEBA的大小.11AA1OBFB1GCEC1解：（1）在直三棱柱ABCABC中，111CC平面ABC1CB在平面ABC上的射影为1CB.CBC为直线C1B与底面ABC所成角.⋯⋯⋯⋯21CCBBBC，112,1tanCBC21即直线CB与底面ABC所成角正切值为2.⋯⋯⋯⋯41（2）当E为中点时，EAEB1.CEEC11,BCB1C11BECB1EC145BEB190，即B1EBE⋯⋯⋯⋯6精选又AB平面BB1C1C，EB1平面BB1C1CABEB1精选BEABBEB1平面ABE，EA平面ABE，EAEB⋯⋯⋯⋯811（3）取EB1的中点G，A1E的中点F，则FG∥A1B1，且FGA1B1，2ABEBFGEB1111连结A1B,AB1，设A1BAB1O，连结OF,OG,FG，则OG∥AE，且1OGAE2AEEBOGEB11OGF为二面角AEBA的平面角.⋯⋯⋯⋯101111212OGAE1,FGAB,OFBE，OGF451122222∴二面角AEBA的大小为45°⋯⋯⋯⋯1211