几类不同增长的函数模型完美版

第2课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1情景导入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2直接导入我们知道，对数函数y=logax(a1),指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新课新知探究提出问题①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.③结合函数的图象找出其交点坐标.④请在图象上分别标出使不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.②见下表与图3-2-1-12.x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y=2x1.1491.51622.6393.4824.9596.063810.556y=x20.040.3611.963.244.846.67911.56y=log2x-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766图3-2-1-12③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).④不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，+∞).⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13),x012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964图3-2-1-13容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2xx2，有时x22x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示.x01020304050607080y=2x110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+181.18E+211.21E+24y=x2010040090016002500360049006400图3-2-1-14一般地，对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.同样地，对于对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.综上所述，尽管对数函数y=logax(a1),指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnax.虽然幂函数y=xn(n0)增长快于对数函数y=logax(a1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.应用示例思路1例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3-2-1-15解：(1)依题意,得y=.101,32032,10,6tttt(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则32t1+320=4,t1=4.因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32t2+32032(t2-4)+320=4,解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时(t310)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32(t2-4)+32032(t2-9)+320=4,解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f(x)=.3016.1073,1610.59,100.436.21.02xxxxxx(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0x≤10时，f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，由f(x)的图象,知当x=10时，［f(x)］max=f(10)=59；当10x≤16时，f(x)=59；当16x≤30时，f(x)=-3x+107，由f(x)的图象,知f(x)-3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.(2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-3×20+107=4753.5,∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.思路2例32007山东滨州一模，文20一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元?(2)设一次订购量为x个时,零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).(3)当销售商一次订购量分别为500、1000个时,该工厂的利润分别为多少?(一个零件的利润=实际出厂价-成本)解：(1)设一次订购量为a个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+02.0516050个.(2)p=f(x)=,550,51,550100,5062,1000,60xxxx其中x∈N*.(3)当销售商一次订购量为x个时,该工厂的利润为y,则y=(p-40)x=.550,11,550100,5022,100,202xxxxxxx其中x∈N*,故当x=500时,y=6000;当x=1000时,y=11000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x、y的等式.例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：图3-2-1-16甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只.乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.(3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.活动：观察函数图象，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:先观察图象得出相关数据，利用数据找出函数模型.解：由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点,从而求得其解析式为y甲=0.2x+0.8,乙图象经过(1,30)和(6,10)两点,从而求得其解析式为y乙=-4x+34.(1)当x=2时，y甲=0.2×2+0.8=1.2,y乙=-4×2+34=26，y甲·y乙=1.2×26=31.2.所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.(2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万只),第6年出产鳗鱼2×10=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.(3)设当第m年时的规模总产量为n,那么n=y甲·y乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,nmax=31.2,即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只.知能训练2007山东高考样题，文18某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1)(2)图3-2-1-17(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正.解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=.300200,3002,2000.3000tttt由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t-150)2+100,0≤