鲁教版第一章三角形复习指导

三角形复习指导三角形是最简单、最基本的几何图形之一，本章介绍了与三角形有关的一些概念，探讨了三角形三边之间的关系、三角形的内角和等问题，然后在认识全等图形的基础上，探索了三角形全等的条件，包括直角三角形全等的条件，并利用三角形全等来解决一些实际问题。为了帮助同学复习好这部分内容，请同学们先完成下列填空：一、复习目标1、进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。2、经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。3、能够用尺规作出三角形。4、在复习过程中，通过观察、操作（折、拼、画、图案、设计）想象、推理、交流等活动，发展空间观念，进一步积累数学活动的经验，在探索图形性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力。二、基本知识点回顾：1、三角形的有关概念（1）三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，它有三条边、三个内角和三个顶点，三角形可用符号“△”表示。（2）三角形的三条重要线段，包括三条角平分线、三条中线、三条高线。注意：①三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条线段，后者是一条射线。三角形的高线是线段，而线段的垂线是直线；②锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部，直角三角形中，有两条高线恰好是它的两条边，钝角三角形的三条高线中，有两条高线在三角形的外部，它们的垂足落在边的延长线上③三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点。2、三角形的有关性质（1）边的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。（2）角的性质：三角形的内角和为180，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，直角三角形的两个锐角互余。（3）稳定性：即三角形的三边的长度确定后，三角形的形状保持不变。3、三角形的分类（1）按边分（2）按角分4、全等三角形的有关概念和性质（1）全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形全等图形的特征：全等图形的形状和大小都相等全等三角形：两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形，两个全等三角形重合时，互相重合的边叫做对应边，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的角叫做对应角。（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。5、全等三角形的判定条件（1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS（2）直角三角形：SAS，ASA，AAS，SSS，HL注意：不能把“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据。6、作三角形用尺规作三角形的类型主要有：（1）己知三角形的三边，求作这个三角形（2）己知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形（3）己知三角形的两个内角及其夹角，求作这个三角形注意：①在作三角形等几何作图中，作图痕迹务必保留，不能将作图痕迹抹掉②在作符合某些条件的三角形时，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正确的。三、重点难点和关键点重点：本章的重点是三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形的一些性质，由于全等三角形是研究图形相等的工具，所以这部分内容也是本章重点。难点：是运用三角形全等解决问题，以及它的说理过程。关键点：是探索出三角形全等的条件四、难点突破1、掌握一些特殊的辅助线的添加方法例1、如图AB//CD，AD//BC，则AB=DC，AD=BC说理理由。分析：要得到AB=DC，AD=BC需要构造三角形，所以连结AC，解：连结AC因为AB//CD，所以∠1=∠2又因为AD//BC所以∠3=∠4在△ADC和△CBA中4321CAAC所以△ADC≌△CBA（ASA）所以AB=DC，AD=BC2、挖握隐含条件利用两次全等例2、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠AEB是否与∠AED相等为什么？分析：要知∠AEB=∠AED，需要知△ABE≌△ADE，但缺少全等条件，还需要△ABC≌△ADC得到AB=AD，所以本题需要利用三角形两次全等得到两角相等，要注意观察图形，发现公共边等条件。解：∠AEB=∠AED理由如下：在△ABC和△ADC中：4321ACAC所以△ABC≌△ADC（ASA）所以AB=AD在△ABC和△ADC中AEAEADAB21所以△ABE≌△ADE（SAS）所以∠AEB=∠AED五、思想方法渗透1、分解图形法复杂的图以都是由较简单的图形组成的，故可将复杂的图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。2、构造图形法当直接证明有因难时，常通过添加辅助线构造基本图形达到解题的目的。3、转化思想转化思想就是将复杂的问题的转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种方法。以上三种方法我们经常在解题中遇到，同学们在学习中总要遵循由特殊到一般的方法，不仅要学习逻辑推理，而且要学习合理推理一一一猜想，不断培养自己的创新精神和实践能力。六、常见考点例析考点一：考查有关概念三角形的三边关系、三角形的内角等于180的应用是考试的热点问题，经常以填空题、选择题的形式出现。例1、在活动课上，小红巳有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打箅拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长cm。分析：要取第三根小木棒的长度，就要看它和己有的两根小木棒构成的三角形是否满足：任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边。解：当4为腰时，4，4，8不满足三角形三边关系定理，当8为腰时，4，8，8满足三角形三边关系定理，所以应填8。例2、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44，则此三角形的最大角是析解：设另一个角为x度，则此角是6x度，第三个角是（x十6x一44）度根据三角形的内角等于180，得（x十6x一44）十x十6x=180，所以x=16，6x=96，x十6x一44=68，所以最大角为96。考点二、考查全等三角形说明三角形全等的条件，是本章的重点之一，本考点多以解答题、说理题、和简单的探索题形式出现。例3如图四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O。（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来。（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明分析：判定两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，要判定直角三角形全等的方法除上述方法外，还有HL，要综合运用这些方法找全等三角形。解：（1）图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC（2）证明△ABC≌△ADC证明：因为AC垂直平分BD，所以AB=AD，CB=CD又因为AC=AC，所以△ABC≌△ADC（SSS）例4、如图在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下列四个论断：（1）AD=CB（2）AE=CF（3）∠B=∠D（4）AD//BC请你用其中的三个作为条件，余下的作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。分析：本题主要考查对三角形全等的识别的掌握情况，本题答案不惟一，现给出一种情况。解：己知AE=CF，∠B=∠D，AD//BC，试说明AD=BC成立的理由。AE=CF→AE+EF=CF+EF即AF=CEAD//BC→∠A=∠CCABDCEAF→△ADF≌△CBE→AD=BC例5、下面四个条件中，请你以其中两个为巳知条件，第三个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一个情况）（1）AE=AD（2）AB=AC（3）OB=OC（4）∠B=∠C分析：本题是一道多解型试题，答案较多，目的在于考查学生汇聚思维、探究问题的能力。解：由已知（1）AE=AD（2）AB=AC说明（4）∠B=∠C成立的理由。ACABAAADAE→△ABE≌△ACD→∠B=∠C考点三、利用三角形全等证明角或边相等的问题角或边相等的证明大多是通过利用三角形全等来证明的，本考点多以解答题、证明题的形式出现。例6、已知AB=AC，AE=AD，点D、E分别在AB、AC上，如图求证：∠B=∠C分析：角或边相等的证明大多是通过利用三角形全等来证明的，在证明中要注意全等所应具备的条件。证明：在△ABE和△ACD中因为∠A=∠A又因为AB=AC，AE=AD所以△ABE≌△ACD（SAS）所以∠B=∠C考点四：运用全等三角形测量距离利用全等三角形解决实际问题是考试中的一个重点，多以大题的形式出现。例7、在一座楼相邻两面墙的外根部有两点A，C，如图请你设计方案测量A，C两点间的距离。分析：本题无法直接测量A，C两点间的距离，我们可以借助三角形全等的知识解决。解：测量方法：（1）沿两面墙分别画出延长线，使DB=AB，EB=CB（2）连结DE，DE的长就是A，C两点间的距离。BEBCDBEABCDBAB→△ABC≌△DBE→DE=AC所以只要测得DE的长就可知A、C两点间的距离。例8、如图是举世闻名的三星堆考中中发掘出的一个三角形残缺玉片，工作人员想制作该玉片模型，则对图中作哪些数据测量后，就可作成符合规格的三角形玉片模型，并说明其中的道理。析解：测量∠A、∠B的度数和线段AB的长度，就能作出和原三角形一样的玉片模型。理由：作∠A＇＝∠A，A’B’=AB,∠B’=∠B则△A’B’C’≌△ABC(ASA)考点五：探究直角三角形全等和直角三角形全等的有关试题多以填空题或解答题的形式出现。例9、己知：∠ADB=∠ACB=90，AD=BC，那么AC=BD吗？为什么？∠1与∠2是否相等，为什么？分析：在证明直角三角形全等时，除了一般的判定方法外，还有特殊方法即HL，本题就是利用它来判定直角三角形全等的。欲证∠1=∠2，必须证△ABD≌△BAC故首先要证∠DAC=∠CBD解：因为直角三角形ABD与直角三角形BAC中，有一条直角边AD=BC，另外斜边AB=BA，所即这两个直角三角形全等，即△ABD≌△BAC（HL）所以AC=BD且有∠DAB=∠CBA，∠CAB=∠DBA从而∠DAB一∠CAB=∠CBA一∠DBA即∠DAC=∠CBD又由AD=BC，AC=BD知△ADC≌△BCD（SAS）所以∠1=∠2答：AC=BD，∠1=∠2考点六：作图根据所给的线段和条件作三角形是本章的一个组成部分，重在作图能力的考查。例10、己知：三角形的两条边另别是3cm和4cm，且3cm这条边所对的角是30，求作这个三角形。分析：先作一个30角，再作出它的一个邻边，只要再把三角形30角所对的边确定了，所做的三角形就确定了。解：作法（1）作30角（2）截AB=4cm（3）以B为圆心，以3cm为半经画弧，交30角的一边于C，C＇点（4）连张结ＢＣ，ＢＣ＇，得到的△ＡＢＣ和△ＡＢＣ＇都是符合条件的三角形。如图。考点七：创新题例11、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然他们全等，对于这两个三角形均为钝角三角形，可证他们全等，（证明略）对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知△ABC，111CBA均为锐角三角形，11111,,CCCBBCBAAB求证：△ABC≌111CBA证明：分别过点B，1B作ACBD于D，1111CADB于1D如图则90111CDBBDC，111,CCCBBC△BCD≌△111DCB11DBBD（2）归纳与叙述由（1）可得到一个正确的结论，请你写出这个结论。分析：这类阅读理解题，在展示问题全貌的同时，在关键处留下一些疑难点，让考生认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，让学生在整体理解的基础上，给予具体的补充。解：（1）又90,11111BDAADBBAAB△ADB≌△111BDA1AA又111,CBBCCC△ABC≌△111CBA（2）若△ABC，△111CBA均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，,,,11111CCCBBCBAAB则△ABC≌△