考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（）(A)12ab(B)12ab(C)0ab(D)2ab（2）设函数fx可导，且0fxfx则（）(A)11ff(B)11ff(C)11ff(D)11ff（3）函数22,,fxyzxyz在点1,2,0处沿向量1,2,2n的方向导数为（）(A)12(B)6(C)4(D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线1vvt（单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位:s）,则（）(A)010t(B)01520t(C)025t(D)025t051015202530()ts(/)vms1020（5）设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）(A)TE不可逆(B)TE不可逆(C)2TE不可逆(D)2TE不可逆（6）已知矩阵200021001A210020001B100020002C，则（）(A)A与C相似，B与C相似(B)A与C相似，B与C不相似(C)A与C不相似，B与C相似(D)A与C不相似，B与C不相似（7）设,AB为随机事件，若0()1,0()1PAPB,则PABPAB的充分必要条件是（）A.PBAPBABPBAPBAC.PPBABAD.PPBABA（8）设12,......(2)nXXXn来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn则下列结论中不正确的是：（）(A)2()iX服从2分布(B)212()nXX服从2分布(C)21()niiXX服从2分布(D)2()nX服从2分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。（9）已知函数21()1fxx,则(3)(0)f__________（10）微分方程230yyy的通解为y__________（11）若曲线积分Lyxdydyxdx122在区域22D,1xyxy内与路径无关，则a（12）幂级数1111nnnnx在区间（-1,1）内的和函数()Sx（13）设矩阵101112011A，123,,为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,AAA的秩为（14）设随机变量X的分布函数为40.50.52xFxx，其中x为标准正态分布函数，则EX=三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）设函数,fuv具有2阶连续偏导数，,xyfecosx,求0dy dxx，220d dxyx（16）（本题满分10分）求21limln1nnkkkknn（17）（本题满分10分）已知函数yx由方程333320xyxy确定，求yx得极值（18）（本题满分10分）设函数()fx在0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim0xfxfx证（1）方程()0fx在区间(0,1)至少存在一个根；（2）方程0)]([)()(2xfxfxf在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（19）（本题满分10分）设薄片型物体S是圆锥面22Zxy被柱面22Zx割下的有限部分，其上任一点弧度为222(,,)9uxyzxyz。记圆锥与柱面的交线为C（1）求C在xOy平面上的投影曲线的方程（2）求S的质量M（20）（本题满分11分）设三阶行列式123(,,)A有3个不同的特征值，且3122（1）证明()2rA（2）如果123求方程组Ax的通解（21）（本题满分11分）设二次型132221232121323(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx，在正交变换xQy下的标准型为221122yy求a的值及一个正交矩阵Q.（22）（本题满分11分）设随机变量X，Y互独立，且的概率分布为1P0P22XX，Y概率密度为2,010,yyfy其他(1)求PYEY(2)求ZXY的概率密度（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,,,nxxx相互独立，且均服从正态分布2,N，该工程师记录的是n次测量的绝对误差,1,2,,iizxin，利用12,,,nzzz估计(I)求1z的概率密度(II)利用一阶矩求的矩估计量(III)求的最大似然估计量2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若反常积分011badxxx收敛，则（）11111111AabBabCaabDaab且且且且（2）已知函数21,1ln,1xxfxxx，则fx的一个原函数是（）22221,11,1ln1,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,1xxxxAFxBFxxxxxxxxxxxCFxDFxxxxxxx（3）若22222211,11yxxyxx是微分方程ypxyqx的两个解，则qx（）2222313111xxAxxBxxCDxx（4）已知函数,0111,,1,2,1xxfxxnnnn，则（）（A）0x是fx的第一类间断点（B）0x是fx的第二类间断点（C）fx在0x处连续但不可导（D）fx在0x处可导（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（6）设二次型222123123121323,,444fxxxxxxxxxxxx，则123,,2fxxx在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B）双叶双曲（C）椭球面（D）柱面（7）设随机变量0,~2NX，记2XPp，则（）（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少（8）随机试验E有三种两两不相容的结果321,,AAA，且三种结果发生的概率均为31，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果1A发生的次数，Y表示2次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）（A）21（B）31（C）21（D）31二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）__________cos1sin1lnlim200xdttttxx（10）向量场zkxyjizyxzyxA,,的旋度_________rotA（11）设函数vuf,可微，yxzz,由方程yzxfxyzx,122确定，则_________1,0dz（12）设函数21arctanaxxxxf，且1)0(f，则________a（13）行列式1000100014321____________.（14）设12,,...,nxxx为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域,221cos,22Drr，计算二重积分Dxdxdy.（16）（本题满分10分）设函数()yx满足方程02kyyy其中01k.证明：反常积分0()yxdx收敛；若1)0(,1)0(yy，求0()yxdx的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)fxy满足2(,)(21),xyfxyxex且(0,)1,tfyyL是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tLfxyfxyItdxdyxy，并求()It的最小值（18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212（19）（本题满分10分）已知函数()fx可导，且(0)1f，10'()2fx，设数列nx满足1()(1,2...)nnxfxn，证明：（I）级数11()nnnxx绝对收敛；（II）limnnx存在，且0lim2nnx.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112AaBaaa当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A（I）求99A（II）设3阶矩阵23(,,)B满足2BBA，记100123(,,)B将123,,分别表示为123,,的线性组合。（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)XY在区域2,01,Dxyxxyx上服从均匀分布，令1,0,XYUXY（I）写出(,)XY的概率密度；（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；（III）求ZUX的分布函数()Fz.（23）设总体X的概率密度为其他,00,3,32xxxf，其中，0为未知参数，321,,XXX为来自总体X的简单随机样本，令321,,maxXXXT。（1）求T的概率密度（2）确定a，使得aT为的无偏估计2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题（1）设函数()fx在（-,+）连续，其2阶导函数()fx的图形如下图所示，则曲线()yfx的拐点个数为（）（A）0（B）1(C)2(D)321123xxxyexeyaybyce（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则：（）(A)3,1,1.(B)3,2,1.(C)3,2,1.(D)3,2,1.abcabcabcabc11(3)331(A)(B)(C).(D)nnnnnaxxnax若级数条件收敛，则与依次为幂级数的：收敛点，收敛点.收敛点，发散点.发散点，收敛点发散点，发散点.（）（4）设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yxyx围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy（）（A）13sin2142si