必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解

第一章三角函数知识点详列一、角的概念及其推广正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角零角：射线不做任何旋转形成的角负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.cscsin为正全正cottan为正seccos为正例1、（1）判断下列各式的符号：①,265cos340sin②,423tan4sin③)cos(sin)sin(cos其中已知)0tan,coscos(且答案：+——2、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot0tan0cos0sin0cot0tan0cos0sin0cot0tan0cos0sin0sin0tan0cot0cos0可以表示为.,360Zkk4、特殊角的集合：（1）终边在X轴非负半轴上的角的集合为;,2Zkk（2）终边在X轴非正半轴上的角的集合为;,12Zkk（3）终边在X轴上的角的集合为;,Zkk（4）终边在Y轴非负半轴上的角的集合为;,22Zkk（5）终边在Y轴非正半轴上的角的集合为;,22Zkk（6）终边在Y轴上的角的集合为;,2Zkk（7）终边在坐标轴上角的集合为;,2Zkk（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4Zkk（9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4Zkk二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3．3、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr4、两个公式：若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr．三、三角函数1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222yxyxr2.比值ry叫做的正弦记作：rysin比值rx叫做的余弦记作：rxcos比值xy叫做的正切记作：xytan比值yx叫做的余切记作：yxcot比值xr叫做的正割记作：xrsec比值yr叫做的余割记作：yrcsc以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：tancot1；（2）商数关系：sincostan,cotcossin；（3）平方关系：22sincos1．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincos2，cossin2．6sincos2，cossin2．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44；（2）已知32,cos(9)5，求11cot()2的值．ry)(x,P解：（1）原式sin()cos[()]424sin()sin()044．（2）3cos()cos(9)5，∴3cos5，∵2，∴4sin5，sin4tancos3，∴1134cot()cot()tan223．例3确定下列三角函数值的符号(1)cos250°（2）)4sin(（3）tan（－672°）(4))311tan(解：(1)∵250°是第三象限角∴cos250°＜0(2)∵4是第四象限角，∴0)4sin((3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0(4)35tan)235tan(311tan而35是第四象限角，∴0311tan.例4求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°)=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323-1=0题型一象所在象限的判断例5（1）如果为第一象限角，试问2是第几象限角？（2）如果为第二象限角，试问：,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。(3)已知角的终边与角3的终边相同，在2,0内，哪些角的终边与3的终边相同？答案：913,97,9题型二弧长、扇形面积等有关问题例6已知扇形的圆心角是，所在圆的半径是R.（1）若,10,60cmR求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积。（2）若扇形的周长是一定值),0(CC当为多少弧度时，该扇形有最大面积？答案：（1）)(233502cm（2）当且仅当,4即)2(2舍去时，扇形面积有最大值162C.题型三函数值符号的判定例7确定下列三角函数值符号：(1)tan(55612),(2)16cos5,(3)17cot()8解:（1）tan(55612)tan(36019612)tan(19612)0（2）1644coscos(4)cos()0555（3）17cot()cot(2)cot()0888例8确定下列三角函数值的符号(1)cos250°（2）)4sin(（3）tan（－672°）(4))311tan(解：(1)∵250°是第三象限角∴cos250°＜0(2)∵4是第四象限角，∴0)4sin((3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0(4)35tan)235tan(311tan而35是第四象限角，∴0311tan.题型四三角函数线的应用例9利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角1sin≥212tan33解：1230≤≤1503090或210270xyoP1P2xyoTA21030例10求证：若2021时，则sin1sin2证明：分别作1,2的正弦线x的终边不在x轴上sin1=M1P1sin2=M2P2∵2021∴M1P1M2P2即sin1sin2题型五利用三角函数关系进行化简与求值例11．化简（1）sin()cos()44；（2）已知32,cos(9)5，求11cot()2的值．解：（1）原式sin()cos[()]424sin()sin()044．（2）3cos()cos(9)5，∴3cos5，∵2，∴4sin5，sin4tancos3，∴1134cot()cot()tan223．例12．（1）若tan2，求值①cossincossin；②222sinsincoscos．（2）求值66441sincos1sincosxxxx解：（1）①原式sin112cos322sin121cos．②∵2211cos1tan3，∴原式2221cos(2tantan1)3．（2）∵66224224sincos(sincos)(sinsincoscos)xxxxxxxx2222222(sincos)3sincos13sincosxxxxxx．又∵442222222sincos(sincos)2sincos12sincosxxxxxxxx．∴原式66441sincos31sincos2xxxx．xyoP1P2M1M2例13已知sin,cos是方程244210xmxm的两个根，322，求角．解：∵2sincos21sincos416(21)0mmmm，代入2(sincos)12sincos，得132m，又322，∴21sincos04m，13sincos2m，∴31sin,cos22，又∵322，∴56．题型六平方关系得应用例14的值求xxxx33cossin21cossin说明：通过平方关系得到重要关系式：xxxxcossin21)cos(sin2例15求证：xxxxxxtan1tan1sincoscossin2122xxxxxxxxxxxxxxxxxxtan1tan1sincossincos)sin)(cossin(cos)sin(cossincoscossin2cossin22222证明：左边说明:利用平方关系得到“1”的妙用，即xx22cossin1例16化简)20(2cos2sin212cos2sin212sin22sin2cos2sin2cos02sin2cos220,20故原式即由2sin2cos2sin2cos)2sin2(cos)2sin2(cos22解：原式说明:本题利用平方关系，和三角函数的大小关系进行化简题型七商数关系的应用例17的值求已知cossincossin2tan解：1tan1tan1cossin1cossincossincossin312122tan故原式由题型八诱导公式的应用例18例2．已知1cos(75)3，是第三象限角，求cos(15)sin(15)的值解：∵是第三象限角，∴36025575360345kk（kZ），∵1cos(75)3，∴75是第四象限角，∴2122sin(75)1()33，∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3题型九证明三角恒等式例19求证cossin1sin1cos解：（不止一种方法）注：关于三角恒等式的