高中数学平面向量习题及答案

第1页共9页第二章平面向量一、选择题1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()．A．AB与AC共线B．DE与CB共线C．AD与AE相等D．AD与BD相等2．下列命题正确的是()．A．向量AB与BA是两平行向量B．若a，b都是单位向量，则a＝bC．若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝OA＋OB，其中，∈R，且＋＝1，则点C的轨迹方程为()．A．3x＋2y－11＝0B．(x－1)2＋(y－1)2＝5C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝04．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()．A．6B．3C．23D．565．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则AP＝()．A．λ(AB＋AD)，λ∈(0，1)B．λ(AB＋BC)，λ∈(0，22)C．λ(AB－AD)，λ∈(0，1)D．λ(AB－BC)，λ∈(0，22)6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DF＝()．A．EF＋EDB．EF－DEC．EF＋ADD．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．(第1题)第2页共9页A．2B．4C．6D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BCB．OA与OBC．AC与BDD．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．(第10题)第3页共9页16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c,OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)第4页共9页19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．20．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．(第19题)第5页共9页参考答案一、选择题1．B解析：如图，AB与AC，AD与AE不平行，AD与BD共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若AB＝DC，可能A，B，C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对．3．D解析：提示：设OC＝(x，y)，OA＝(3，1)，OB＝(－1，3)，OA＝(3，)，OB＝(－，3)，又OA＋OB＝(3－，＋3)，∴(x，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝yx，又＋＝1，由此得到答案为D．4．B解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝21．∴a与b的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB＋AD＝AC，又AB＋BC＝AC，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF＝DE，∴DF＝DE＋EF＝EF＋AF．(第6题)(第1题)第6页共9页7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵AD＝AB＋BC＋DC＝－8a－2b＝2BC，∴AD∥BC且|AD|≠|BC|．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－32．解析：A，B，C三点共线等价于AB，BC共线，AB＝OB－OA＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，BC＝OC－OB＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，又A，B，C三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN＝(2，0)，又a＝MN，∴0＝4－3－2＝3＋2xxx解得4＝1＝－1＝－xxx或第7页共9页∴x＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB·BC＝0，∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝BC·CA＋CA·AB＝CA·(BC＋AB)＝－(CA)2＝－2CA＝－25．思路2：∵AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴∠ABC＝90°，∴cos∠CAB＝CAAB＝53，cos∠BCA＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB·BC＝0，BC·CA＝BC·CAcos∠ACE＝4×5×(－54)＝－16，CA·AB＝CA·ABcos∠BAD＝3×5×(－53)＝－9．∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)．∵(a＋mb)⊥(a－b)，∴(a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA，OC为邻边作□AOCF交AC于(第15题)D(第13题)第8页共9页点E，则OF＝OA＋OC，又OA＋OC＝－OB，∴OF＝2OE＝－OB．O是△ABC的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，∴BA＝CD．∴四边形ABCD为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．AB＋λAC＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP＝AB＋λAC，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx即7455yx要使点P在第三象限内，只需074055解得λ＜－1．18．DF＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，AB＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．又D是BC的中点，∴AD＝21(AB＋AC)＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M，N分别是AB，AC的中点，∴F是AD的中点，∴DF＝－FD＝－21AD＝－21(－27，－4)＝(47，2)．(第18题)第9页共9页19．证明：设AB＝a，AD＝b，则AF＝a＋21b，ED＝b－21a．∴AF·ED＝(a＋21b)·(b－21a)＝21b2－21a2＋43a·b．又AB⊥AD，且AB＝AD，∴a2＝b2，a·b＝0．∴AF·ED＝0，∴AF⊥ED．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－3)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋4sinθ－43cosθ．又4sinθ－43cosθ＝8(sinθcos3π－cosθsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4．思路2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b|表示2a，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第19题)