浅谈对应思想在小学数学教学中的运用

浅谈“对应”思想在小学数学教学中的运用数学思想方法是数学思维的基本方法，是数学素养的核心之一。在《课标（2011版）》中，提出了未来数学教育的方向将由“双基”转变为“四基”，“双能”转变为“四能”。在数学课堂学习中，除了要关注学生的基础知识，基本技能，还更要关注学生在观察、操作、比较、类推中有没有获得基本的数学活动经验，领悟到数学学习的基本思想方法。“对应”一词，在我们的数学课堂上经常能碰见，但我们很少把“对应”作为一种数学思想方法去研究，并在自己的课堂教学中有意识地去渗透给学生。在外出学习的机会中，笔者对两位市骨干老师设计的同一课例：四年级下册“植树问题”，感受很深，触动很大。两位老师都不约而同地把“一一对应”作为一种数学思想方法渗透于学生数学学习的过程中，充分地创设各种问题情境，利用点（种树棵数）与段（间隔）的“一一对应”，让学生在观察、比较、类推中，深入地理解了种树的棵数与间隔数之间变幻莫测的关系，建立了植树问题的一般模型。使学生体验到了形成数学思想方法是数学学习的重要目的之一，不仅增长了“智慧”，而且提高了数学素养。两位老师对教材的理解，对教学的把握，让我顿悟，进而深思，从内心里面强烈地感受到要对“对应思想”做进一步的了解和整理。通过查找、翻阅资料，发现“对应思想”是指在两类事物（集合）之间建立某种联系的思维方法。它是函数和方程思想的支柱。在小学数学中“对应”的现象随处可见，在数与形、形与形、量与量、量与率等的变化规律中，都存在着大量的对应关系。例如：一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念；我们常常利用“数轴”，把数轴上的点和数建立一一对应的关系，便于认识数、比较数的大小和进行加减法计算；复杂应用题常常对应着简单应用题来分析数量关系……其实，对应思想在小学数学教学中有很多的渗透点。一、“数”与“形”的对应。“数缺形时少直觉，形少数是难入微。”要理解抽象的“数”不能离开直观的“形”，“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，达到逻辑与形象思维的完美统一。低年级学生以形象思维为主，抽象的概念往往都要在直观形象的基础上才能建立起来。例如一年级的学生在“数”的时候，就需要借助大量直观、形象的物体，才能建立起像“1，2，3，4，5……”这样较抽象的“数”的概念。接着从学生最熟悉的直尺抽象出“数尺”（见图1），在数尺中感受数的顺序、大小和有方向的排列。随着年级的增高，学生认知水平的发展，再次从数尺中抽象出“数直线”（见图2），引导学生学会用直线上的点来表示学到的数，例如正分数、正小数等。到了六年级下册“初步认识负数”后，教材出现了数轴模型，（见图3）完善了学生对数轴的认识。学生根据学习正负数的经验，自然地将数轴上的点和抽象的正负数对应起来，直观形象地理解了数轴上数的大小顺序，完成对数的结构的初步构建。“平面直角坐标系”在小学的渗透，再次体现了数与形的结合。例如在六年级上册学习用“数对确定位置”一课时，笔者从学生最熟悉的“座位图”出发，慢慢地抽象出“方格图”，引导学生建立起“有序数对”与平面上的“点”之间的一一对应关系，帮助学生理解了用数对表示平面上的点的位置的方法，使学生体会了代数与几何之间的紧密联系。（见图4）二、“图”与“式”的对应。我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理，正所谓“知其然，知其所以然”。如果学生不明白道理怎么能更好的掌握计算方法？因此在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法。利用“图”与“式”的相互结合，相互对应，帮助学生构建算理与算法之间的联系，是一种优化的方法。【案例】《两位数乘一位数的笔算乘法》图1大门（3，0）猴山（2，2）海洋馆（6，4）……图2图3图4片断：在具体情境中，提出问题，学生列出乘法算式：12×3。教师引导学生在探索方法中理解算理。学生操作学具，独立思考，主要有下面几种算法：（1）12+12+12＝36（2）10×3＝30（3）12（4）122×3＝6×3×330+6＝36366+3036生1：12乘3表示3个12是多少，所以可以用12+12+12＝36。生2：把12分成两份，一份是10，一份是2，然后用3乘10等于30，还有3乘2等于6，6加30等于36。生3：（指着第3个式子），这个3乘2得6，再把3跟1相乘得3，算出来就是36。师：请看！6（用红色圈出）表示什么意思？生4：表示6个一。师：所以这个6要写到什么位？（个位）那3表示什么意思呢？生5：3个十。因为1是在十位上，表示1个十，3乘10，得3个十。师：3是3乘10得到的，所以它表示的是3个十，因此3应该写在什么位？（十位）。谢谢你给了我们这么重要的一个竖式。那竖式（3）和竖式（4）又有什么区别和联系？生7：道理是一样的，只是竖式（3）比竖式（4）要简单一些，不用写两次。师：说得真有道理，这就是我们今天要重点学的乘法的竖式计算。老师这里有一幅图，你能不能找到竖式中的每一步和横式口算中的每一步所对应的图形呢？生独立思考，在此基础上全班交流，形成下图：12×33610×3=302×3=630+6=36……学生在面对“12×3=？”的新问题时，首先想到的是利用自己头脑中已有的知识经验去对这个问题做出合理的解答。我们看到课堂上有的孩子用了加法算出得数，有的孩子列出横式进行口算，还有的同学用竖式来计算，竖式中还有不同的方法。面对学生各种各样的算法，教师精心地设问，引发了学生更深层次的思考，在横式、竖式的比较中，沟通了它们的联系，特别是在“图”与“式”的对应中，帮助学生在口算、竖式和直观图之间建立联系，在联系中深入理解了12×3的各个计算步骤的算理。再如，学生学习“异分母分数的加减法”时，往往会出错，有些学生一开始会得出21+41=62。尽管学生已经有了同分母分数加减运算的知识和经验，但是学生并未自然地意识到自然数与分数意义下加减运算的区别。自然数加减法的运算，关键是“相同计数单位相加减”，而分数的加减运算需要理解分数的“度量意义”（分数单位的“累积”或减少），如何让学生理解“分数单位相同才能相加减”的道理，我们应注重数的意义和计算意义的理解。在教学中，我们可以借助分数直观模型（如下图）将上述的抽象思维过程形象化，对学生理解分数意义和分数加法意义有明显的帮助作用，会收到事半功倍的教学效果。＋＝＋＝21＋41＝42＋41=43三、“形”与“形”的对应。如果学生不能在纷繁复杂的变化中把握住事物之间的对应关系，就找不到解题的途径。在解决一些空间与图形的问题时，通过转化的方法，可以把未知图形转化成已知图形，引导学生观察转化前后两种不同图形之间的对应关系，从而找到解决新问题的思路。例如，圆柱体体积公式推导过程中，把圆柱体转化成长方体后，转化前后的两种图形就在很多地方体现了对应关系。长方体的体积＝底面积×高圆柱体的体积＝底面积×高“长方体的体积”与“圆柱体的体积”相对应，“长方体的底面积”与“圆柱体的底面积”相对应，“长方体的高”与“圆柱体的高”相对应。学生发现，相对应的体积、面积是等大的，相对应的长度是等长的。由此圆柱体的体积计算公式呼之欲出，水到渠成。在“空间与图形”领域中的几何部分面积和体积的教学中，都是通过转化，将“未知图形”转化为“已知图形”进行研究，从中建立起不同图形之间的对应关系，通过“已知图形”面积、体积的计算方法，推导出“未知图形”面积、体积的计算方法，使学生在观察、比较、对应、推导中获得条理化、系统化、整体化的知识。四、“量”与“率”的对应。源于分数、百分数意义的单位“1”，在数量和分率之中存在着大量的对应关系。例如：“男生人数是全班人数的53”，那么全班人数与“1”，男生人数与“53”，女生人数与“52”就是具体数量与分率的对应。解决问题时一旦把这些对应关系搞错，必然会带来解题的错误。所以对应思想在解答应用题时，尤其解答分数、百分数应用题时是十分重要的。这类应用题中一个数量对应于一个分率。学生掌握了这一思想方法，就会使学生化繁为简，化难为易地思考问题，从而找到解题思路。【案例】《解决问题》教学片断师：这里有一道题，有兴趣尝试一下吗？生：有兴趣，什么题呢？课件出示了题目：“小明读一本书，第一天读了这本书的41，第二天读了这本书的52多4页，第三天读完剩下的17页。这本书共有多少页？”请大家一起来分析一下。生1：这本书的页数就是单位“1”。生2：要求这本书共有多少页？要先找出具体的数量与对应的分率。生3：第一天读的页数对应“41”；而第二天读的好像不是对应“52”，因为多读了4页。生4：因此剩下的17页应该也不是对应“1-41-52”。师：那这道题应该怎样解答呢？聪明的学生马上拿出了练习本，开始涂画起来，通过线段图分析：41524页17页一本书的页数（“1”）学生恍然大悟，单独找4页、17页的对应分率不好找，但可以从线段图中看到，页数（4+17）与分率（1—41—52）相对应，利用分数除法的意义就可以知道这本书共有多少页。列式为：（4+17）÷（1—41—52）＝60（页）。学生正是抓住了题目中的数量与分率之间的对应关系，才使问题得以解决，解决这样的问题，不仅要找到题目中明显的量与率的对应关系，更要挖掘出其中隐含的对应关系。当遇到对应关系不太明显时，就可以借助线段图，把抽象的数或抽象的关系用图的形式表达出来，帮助学生找到数量之间的对应关系，起到化繁为简，化难为易的作用。五、“量”与“量”的对应。从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程。算术研究具体的常量以及它们之间的数量关系。方程研究已知常量和未知常量之间的数量关系。函数研究两个变量之间的对应关系。在这些过程中，学生可以感受到在数量之中大量的存在着对应关系。小学低、中年级的学生，通过学习比多少，以及一些简单的一步解决的实际问题，已经初步感受到了对应的作用，遇到一些较复杂的问题也能主动地寻找对应关系，利用对应关系解决问题。例如，四年级上册练习卷中有这样一道题：“水果店上午卖出苹果6箱，下午又卖出8箱，比上午多卖100元，上午和下午各卖出多少元？”我先让同学们独立思考，再两人一组交流想法。汇报时，几个小组分别出示了本组的方法：第一组：第二组：100元100元第三组：100元我们可以看到三组的学生，在绘制示意图的基础上，很顺利地找到了与一个量（多卖的100元）对应的另一个量（2箱），由此可以根据对应关系求出一箱的价钱，进而可以求出上下午各卖出多少元。小学数学教学中显然是以常量教学为主，但笔者认为，在小学数学教学中应适当渗透变化、对应等函数思想，为中学学习函数打下良好的基础。据皮亚杰的心理学研究，6岁孩子已经有了对应的意识。因此，小学数学从一开始，就通过数字图、韦恩图等形式，一点点地将函数概念渗透在许多例题和习题中。例如，一年级上册第99页就有如下图的练习题，当一个加数固定不变时，“和”随着另一个加数的变化而变化。对于另一个加数所取得的每一个值，我们都可以得到“和”的唯一值与之对应。9＋再如小学高年级所教学的正比例和反比例是函数概念教学的雏形，初步刻画了一个变量随着另一个变量的变化情况，给出一个数到另一个数的对应关系。如，六年级下册第39页“成正比例的量”。2＝6＝4＝8＝5＝3＝9＝7＝9＋又如，六年级下册第42页“成反比例的量”。尽管在教学中不必正面出函数概念，但是，数量之间的依赖关系以及它们之间的对应关系的观念，都需要有意识地加以培养，为后续数学学习打下基础。对应思想凝结着人类在数学思考中的成果和智慧，对儿童思维能力的培养、数学魅力的感悟有着至关重要的启迪作用。其实在小学数学教学中，对应思想的应用还有很多，通过对应思想的渗透，能使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使学生顺利地解决问题。我们一线教师要深入地钻研教材，通过梳理教材，掌握教材中蕴含着对应思想的相关内容及其编排的脉络，并把自己对教材的理解融入到课堂教学之中，把教知识与教方法有机地结合起来，让学生感悟到寻找对应关系的方法及价值，并为学生今后深入地学习数学