北京科技大学考研数学分析(2003-2014)

北京科技大学2014年硕士学位研究生入学考试试题=============================================================================================================试题编号：613试题名称：数学分析（共2页）适用专业：数学,统计学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。=============================================================================================================1.(15分)（1）计算极限2020coslimln(1)xxxdxx；（2）设112(1)0,,(1,2,3,),2nnnaaana证明:limnna存在，并求该极限.2.(15分)(1)设222zyxu，其中),(yxfz是由方程xyzzyx3333所确定的隐函数,求xu.(2)设2233xuvyuvzuv，求zx.3.(15分)设)(xf在0,2上连续，且)0(f＝(2)f，证明0x0,1，使)(0xf＝0(1).fx4.(15分)设f(x)为偶函数,试证明:20()dd2(2)()d,aDfxyxyaufuu其中:||,||(0).Dxayaa5.(15分)设)(xf在区间[0,1]上具有二阶连续导数，且对一切[0,1]x，均有(),''()fxMfxM.证明:对一切[0,1]x，成立'()3fxM.6.(15分)设0a,()fx是定义在区间[,]aa上的连续偶函数,(1)证明:0()d()d1eaaxafxxfxx;(2)计算积分322cosd.1exxx7.(15分)(1)证明：级数4211nxnx在[0,)上一致收敛；(2)求级数3231(1)8ln()nnnnxnnn的收敛域.8.(15分)证明：若,fxy在矩形区域D满足：12112|(,)(,)|||fxyfxyLxx与12212|(,)(,)|||,fxyfxyLyy其中12,LL是正的常数，则函数,fxy在D一致连续.9.(15分)设对于半空间0x内任意的分片光滑的有向封闭曲面,都有2()dddddd0,1xyfxyzzxxyx其中函数()fx在[0,)上具有一阶连续导数,且(0)1,f求()fx.10.(15分)设,0fxfxmaxb，证明:2sinbafxdxm.北京科技大学2013年硕士学位研究生入学考试试题=============================================================================================================试题编号：613试题名称：数学分析（共2页）适用专业：数学，统计学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。=============================================================================================================1．（20分）（1）、设,,()zfxyuxyxFu，其中F为可微函数，且yux，证明：zzxyzxyxy.（2）、设zyux，求：22,uuzz。2．（20分）（1）设()fx在,ab上连续,21()(),4bbaafxdxfxdx则存在(,),ab使得21()().4()ffba（2）求极限10limedxxtxt3.(20分)设()e,0()0,0xgxxfxxx，其中()gx有二阶连续的导数，且(0)1g，(0)1g，求()fx,并讨论()fx在(,)上的连续性.4．（15分）设()fx在0,1上连续可微,且(0)0,(1)1,ff求证：（1）[0,1],|()()|().xxfxfxefx（2）110|()()|d.fxfxxe5.(15分)若{[,]}nnab是一个闭区间套,即11[,][,],1,2,nnnnababn,且lim()0,nnnba证明:存在唯一点,使得[,],1,2,nnabn.6.(15分)计算二重积分sinddDyxyy,其中D是由曲线yx以及2xy所围成的闭区域．7.(15分)计算221ddd1xyzxy,其中是由抛物面224xyz与平面0zh围成的空间区域.8．(10分)设0fx在[0,1]上连续，定义函数序列，10()(),0,1,2,xnnfxfxdtn.证明：函数项级数1()nnfx在[0,1]上一致收敛.9.(10分)设函数()yfx的二阶可导,且()0,(0)0,(0)0,fxff求330()lim,()sinxxfufxu其中u是曲线()yfx在点(,())Pxfx处的切线在x轴上的截距.10.(10分)计算曲面积分2()ddddIxzyzzxy,其中是旋转抛物面221()2zxy介于平面0z和2z之间的部分的下侧.北京科技大学2012年硕士学位研究生入学考试试题=============================================================================================================试题编号：613试题名称：数学分析（共2页）适用专业：数学，统计学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。=============================================================================================================1．（20分）（1）求极限1lim(1)(2)(2)nnnnnn。（2）证明积分20ln(sin)xdx收敛且求其值。2．（20分）（1）证明：对于0，级数12tan)1(nnn都收敛。（2）设()fx连续，求极限lim()xaxaxftdtxa。3．（15分）已知给定函数1()sin,()0,mxaxafxxaxa(m为正整数),试讨论()fx在xa的连续性与可导性以及导函数()fx在xa的连续性。4．（15分）设函数()fx在[0,]b上连续，且0()()0,[0,]xftdtbfxxb，证明：()0fx。5．（15分）设fx在,ab连续，12,,,,nxxxab。证明：存在,ab，使11()niiffxn。6．（15分）已知曲线22220:35xyzCxyz，求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点。7．（15分）设fx在,ab连续，在,ab可导，且0fx。试证明：存在,,ab，使bafeeefba。8．（15分）设()fx在区间[1,1]上连续且为奇函数,区域D由曲线24yx与3yx、1x所围成,求21()ln(1)ddDIfxyyxy。9．（10分）试利用闭区间套定理证明数列{}na收敛的充要条件是:对任意的0，存在0N，使得当,mnN时，mnaa。10．（10分）（1）设a为不是整数的实参数，计算函数cosax在,的三角级数展开式；（2）证明：111111sinnntttntn，t不是的整数倍；（3）利用上面结果计算广义积分：0sinxdxx。