初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AEDOABCDE图1OABCDE图2OABCDE图1OABCDE图2OABCDEOABCDE图1图2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD∥AB，将△OCD旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情况【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°将△OCD旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；③OAOBOCODACBDtan∠OCD；④BD⊥AC；⑤连接AD、BC，必有2222CDABBCAD；⑥BDAC21S△BCD三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③2△OCE△OCD△DCEOC21SSS证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC；③2△OCD△OCEOC21SSOABCDOABCDEOABCDEOABCDAOBCDE图1AOBCDEMN图2AOBCDEF图3AOBCDEMN图4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③2△OCE△OCD△DCEOC43SSS证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。（3）全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③αcosαsinOCSSS2△OCE△OCD△DCE※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：原结论变成：①；②；③。可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。AOBCEFAOBCEFFAOBEDCAOBECD对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③注意OC平分∠AOB时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？四、模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【结论】：①∠EAF=45°；（2）角含半角模型90°---2【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE；AOBCDEABCDEFABCDEFGABCDEFABCDEFABCDEF（3）角含半角模型90°---3【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【结论】：222DECEBD（如图1）若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论222DECEBD仍然成立（如图2）（4）角含半角模型90°变形【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：△AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴AEACAHDA∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型---1【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【结论】：AF⊥CFABCDEABCDEFABCDEABCDEFABCDGHFEABCDGHFEABCEFDHABEFDH模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。（2）倍长中线类模型---2【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360°旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；突破点：△ABD≌△CBG；难点：证明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC；辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF。ABCDMEABCDMEFAEBDFCAEBDFCHGAEBDFCABDFCG（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：①动点在直线上；②起点，终点固定OABDCEOABDCEGHOABDCEOABDCEMABB'PlPA+PB（2）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？辅助线：将作Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，则MP+PQ=MP+PQ’MH(垂线段最短）（3）最短路程模型二（点到直线类2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【问题】：n为何值时，PA55PB最小？求解方法：①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=55；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=21，即E（0，1）AA'PQBB'l2l1PA+PQ+BQAA'PQBB'lAA'PQBl1l2PA+PQ+BQPA+PQ+BQAPOQMBQ'HPAxyOBPAxyOBPACDE（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若PA的最大值为10，则OC=6；若PA的最小值为1，则OC=3；若PA的最小值为2，则PC的取值范围是0PC2【条件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；⑤△OBC绕点O旋转【结论】：PA最大值为OA+OB=321；PA的最小值为13OAOB21如下图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。OAB最小值位置最大值位置BCAOPAOBPCAOPBC模型八：二倍角模型【条件】：在△ABC中，∠B=2∠C；辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、则BA=AA’=CA’(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型--基本型平行类：DE∥BC；A字型8字型A字型结论：BCDEACAEABAD(注意对应边要对应）（2）相似三角形模型---斜交型【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°；【结论】：AE×AB=AC×AD【条件】：如右图，∠ACE=∠ABC；【结论】：AC2=AE×ABABCABCA'ABCDEADEBCADEBCABCDEABCDE斜交型斜交型ABCEABCE斜交型双垂型第四个图还存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；（3）相似三角形模型---一线三等角型【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；（3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【结论】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。（4）相似三角形模型---圆幂定理型【条件】：（2）图：PA为圆的切线；【结论】：（1）图：PA×PB=PC×PD；（2）图：PA2=PC×PB;（3）图：PA×PB=PC×PD；以上结论均可以通过相似三角形进行证明。ABCDE图（1）ABCDE图（2）ABCDE图（3）ABCDP图（1）APCB图（2）PABCD图（3）